完备空间

完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。

对任一度量空间，我们可以构造相应的完备度量空间（或者表示为${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{M}}$具备以下普适性质：若为任一完备度量空间，为任一从到的一致连续函数，则存在唯一的从到的一致连续函数使得该函数为的扩展。新构造的完备度量空间在等距同构意义下由该性质所唯一决定，称为的完备化空间。

以上定义是基于是的稠密子空间的概念。我们还可以将完备化空间定义为包含的最小完备度量空间。可以证明，这样定义的完备化空间存在，唯一（在等距同构意义下），且与上述定义等价。

对于交换环及于其上的模，同样可以定义相对于一个理想的完备性及完备化。详见条目完备化 (环论)。

类似于从有理数域出发定义无理数的方法，我们可以通过柯西序列给原空间添加元素使其完备。

对中的任意两个柯西序列()和()，我们可以定义它们间的距离：d(,) = lim d(,)（实数域完备所以该极限存在）。按此方式定义的度量还只是伪度量，这是因为不同的柯西序列均可收敛到0。但我们可以象很多情况中所做的一样（比如从到${\displaystyle {\mathcal{L}}^p}$ = {是上的柯西序列：${\displaystyle y_n\to <!--\; \to \; -->x}$={}，原空间就以${\displaystyle \to <!--\; \to \; -->}$的映射方式嵌入到新的完备度量空间中。易于验证，等距同构于的稠密子空间。

康托法构造实数是该完备化方法的一个特例：实数域是有理数域作为以通常的差的绝对值为距离的度量空间的完备化空间。

康托尔的实数建构是上述构造的特例；此时实数集可表为有理数集对绝对值的完备化。倘若在有理数集上另取其它的绝对值，得到的完备空间则为p进数。

若将上述流程施于赋范向量空间，可得到一个巴拿赫空间，原空间是其中的稠密子空间。若施于一个内积空间，得到的则是希尔伯特空间，原空间依然是其稠密子空间。