列维-奇维塔符号

利威尔-奇维塔符号（Levi-Civita symbol），特别在线性代数，张量分析和微分几何等数学范畴中很常见到。对于正整数 ，它以1, 2, ..., 所形成排列的奇偶性来定义。它以意大利数学家和物理学家图利奥·列维-齐维塔命名。其他名称包括排列符号，反对称符号或交替符号。这些名称与它排列和反对称的性质有关。

列维-奇维塔符号的标准记号是希腊小写字母 ε 或 ϵ ，较不常见的也有以拉丁文小写 记号。下标符能与张量分析兼容的方式来显示排列：

其中每个下标指标 ₁, ₂, ..., 取值介乎 1 到 。在 _12... 中，共有 个指标排列，可以排成为一个 维阵列。

当任何两个指标相等，则定义符号值等于 0 ：

当全部指标都不相等时，我们定义：

其中 称为“排列的奇偶性” (parity of permutation)，是要将 ₁, ₂, ..., 变换成自然次序 1, 2, ..., ，所需的对换次数。而因子 (−1) 被称为“排列正负号” (signum of permutation)。这里， _12... 的值必须有定义，否则其他特定排列的符号值将无法确定。大多数作者选择 +1 作为自然次序的值：

在本文中，也将使用这个定义。

从定义可知，当任何两个指标互换，则须加上负号：

这称为“完全反对称性”。

“ 维列维-奇维塔符号”一词是指符号上的指标数 ，和所讨论的向量空间维度相符，其中可指欧几里得空间或非欧几里得空间，例如 R3 的 = 3 或闵可夫斯基空间的 = 4 。

列维-奇维塔符号的值，与参考坐标系无关。此外，这里使用“符号”一词。强调了它并不是一个张量；然而，它可以被理解为张量的密度。

列维-奇维塔符号可用来表示正方矩阵的行列式，及三维欧几里德空间中的两个向量的叉积。

列维-奇维塔符号最常用于三维和四维，并在一定程度上用于二维，因此在定义一般情况之前，先给出这些符号值。

在二维中，列维-奇维塔符号定义如下：

这些值可以排列成 2×2 反对称矩阵：

相对于其他维度，二维的列维-奇维塔符号并不常见，虽然在某些专门的主题，如超对称和扭量理论中，谈及2-旋量时会用到。

三维以上的列维-奇维塔符号更常用。在三维中，列维-奇维塔符号定义如下：

也就是说，如果 (, , ) 是 (1, 2, 3) 的偶排列，则符号值为 +1 。如果是奇排列，则符号值为 −1 。如果任何两个索引重复，则符号值为 0 。

仅在三维中， (1, 2, 3) 的循环排列都是偶排列，反循环排列都是奇排列。这意味着在三维中，仅观察 (, , ) 是 (1, 2, 3) 的循环排列，还是反循环排列，就足以分辨其奇偶性。

类似于二维矩阵，三维列维-奇维塔符号的值可以排成 3×3×3 阵列：

其中 是深度 (蓝色: = 1; 红色: = 2; 绿色: = 3) ， 是横行， 是直列。

以下是一些例子：

在四维中，列维-奇维塔符号定义如下：

这些值可以排成 4×4×4×4 阵列，然而四维以上较难描绘出示意图。

以下是一些例子：

更一般地推广到 维中，则列维-奇维塔符号的定义为：

又可使用求积符号 ∏ 表达为：

其中的 sgn() 是符号函数，根据 的正负给出 +1 、 0 或 −1。该公式对对于任何 及任何指标排列都有效（当 = 0 或 1 时，定义为空积 1）。

然而，计算以上公式的时间复杂度为 O(2) ，而以不交循环排列的性质计算，则只需 O( log()) 。

两个列维-奇维塔符号的积，可以用一个以广义克罗内克函数表示的行列式求得：

在线性代数中， 3×3 的方阵 = () ：

其行列式可以写为：

类似地， × 矩阵 = () 的行列式可以写为：

对于向量 a 与 b ，它们的叉积：

对于向量 a 、 b 与 c ，它们的三重积：

由列维-奇维塔符号给出（共变等级为n）张量在正交基础中的组成部分，有时称为“排列张量”。

根据普通的张量变换规则，列维-奇维塔符号在纯旋转下不变，与正交变换相关的所有坐标系统（在定义上）相同。然而，列维-奇维塔符号是一种赝张量，因为在雅可比行列式−1的正交变换之下，例如，一个奇数维度的镜射，如果它是一个张量，它“应该”有一个负号。由于它根本没有改变，所以列维-奇维塔符号根据定义，是一个赝张量。

由于列维-奇维塔符号是赝张量，因此取叉积的结果是赝张量，而不是向量。

在一般坐标变换下，排列张量的分量乘以变换矩阵的雅可比。这表示在与定义张量的坐标系不同的坐标系中，其组成部分与列维-奇维塔符号表示的那些，不同之处在于一整体因子。如果坐标是正交的，则根据坐标的方向是否相同，因子将为±1。

在无指标的张量符号中，列维-奇维塔符号被霍奇对偶的概念所取代。

在使用张量的指标符号来操作分量的上下文中，列维-奇维塔符号可以将其指标写为下标或上标，而不改变意义，这也许是方便的如下写成：

在这些例子中，上标应该被视为与下标相同。

使用爱因斯坦标记法可消除求和符号，其中两个或多个项之间重复的指标表示该指标的求和。例如，

以下的例子使用爱因斯坦标记法。

在二维上，当所有${\displaystyle i}$，${\displaystyle j}$，${\displaystyle m}$，${\displaystyle n}$各取值1和2时，

${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ij}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{mn}={{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_i}^m{{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_j}^n-<!--\; -\; -->{{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_i}^n{{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_j}^m}$

(1)

${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ij}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{in}={{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_j}^n}$

(2)

${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ij}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{ij}=2.}$

(3)

在三维中，当所有${\displaystyle i}$，${\displaystyle j}$，${\displaystyle k}$，${\displaystyle m}$，${\displaystyle n}$各取值1,2和3时：

${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{imn}={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_j{}^m{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_k{}^n-<!--\; -\; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_j{}^n{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_k{}^m}$

(4)

${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{jmn}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{imn}=2{{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_j}^i}$

(5)

${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{ijk}=6.}$

(6)

列维-奇维塔符号与克罗内克函数有关。 在三维中，关系由以下等式给出（垂直线表示行列式）：

这个结果的一个特例是(4):

有时候称为“contracted epsilon identity”。

在爱因斯坦标记法中，${\displaystyle i}$指标的重复表示${\displaystyle i}$的总和。然后前一个被表示为${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{imn}={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{jm}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{kn}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{jn}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{km}}$

在n维中，当所有${\displaystyle i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_n,j_1,\dots <!--\; \dots \; -->,j_n}$take values${\displaystyle 1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n}$：

${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{i_1\dots <!--\; \dots \; -->i_n}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{j_1\dots <!--\; \dots \; -->j_n}=n!{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{}^{j_n}={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{i_1\dots <!--\; \dots \; -->i_n}^{j_1\dots <!--\; \dots \; -->j_n}}$

(7)

${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{i_1\dots <!--\; \dots \; -->i_k{i}_{k+1}\dots <!--\; \dots \; -->i_n}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{i_1\dots <!--\; \dots \; -->i_k{j}_{k+1}\dots <!--\; \dots \; -->j_n}=k!(n-<!--\; -\; -->k)!{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{}^{j_n}=k!{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{i_{k+1}\dots <!--\; \dots \; -->i_n}^{j_{k+1}\dots <!--\; \dots \; -->j_n}}$

(8)

${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{i_1\dots <!--\; \dots \; -->i_n}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{i_1\dots <!--\; \dots \; -->i_n}=n!}$

(9)

惊叹号(${\displaystyle !}$)代表阶乘，而${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\dots <!--\; \dots \; -->}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\dots <!--\; \dots \; -->}}$是广义克罗内克函数，对于任意n有属性：

从以下事实可得出：

一般来说，对于n维，两个列维-奇维塔符号的乘积可以写成：