置换群

✍ dations ◷ 2025-07-11 17:51:26 #置换群,有限群

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G2 F4E6 E7E8
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

数学上,一个置换群是一个群 G {\displaystyle G} ,其元素是一个给定集 M {\displaystyle M} 上的置换, G {\displaystyle G} 中的群运算定义成排列的合成(把排列看作是从M到自身的双射)。包含所有 M {\displaystyle M} 的置换的群是被称为 M {\displaystyle M} 的对称群,记做 Sym ( M ) {\displaystyle {\text{Sym}}(M)} ,因此置换群是对称群的一个子群。如果 M {\displaystyle M} 是有限集,包含 n {\displaystyle n} 个元素数,则 M {\displaystyle M} 的置换群记做 S n {\displaystyle S_{n}}

置换群到被置换的元素的应用称为群作用;它在对称性和组合论以及数学的其他很多分支中有应用。

置换通常写作轮换形式,例如,在轮换指标计算中,给定集合 M = { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle M=\{1,2,3,4\}} M {\displaystyle M} 的一个置换 g {\displaystyle g} 若为 g ( 1 ) = 2 , g ( 2 ) = 4 , g ( 4 ) = 1 {\displaystyle g(1)=2,g(2)=4,g(4)=1} g ( 3 ) = 3 {\displaystyle g(3)=3} ,可以写作 ( 1 , 2 , 4 ) ( 3 ) {\displaystyle (1,2,4)(3)} ,或者更常见的写作 ( 1 , 2 , 4 ) {\displaystyle (1,2,4)} ,因为 3 {\displaystyle 3} 保持不变;若对象有单个字母或数字表示,逗号也被省去,所以可以记作 ( 1   2   4 ) {\displaystyle (1\ 2\ 4)}

( 1 ) , ( 1   2 ) {\displaystyle (1),(1\ 2)}

( 1 ) , ( 1   2 ) , ( 1   3 ) , ( 2   3 ) , ( 1   2   3 ) , ( 1   3   2 ) {\displaystyle (1),(1\ 2),(1\ 3),(2\ 3),(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)}

( 1 ) , {\displaystyle (1),} ( 1   2 ) , ( 1   3 ) , ( 1   4 ) , ( 2   3 ) , ( 2   4 ) , ( 3   4 ) , {\displaystyle (1\ 2),(1\ 3),(1\ 4),(2\ 3),(2\ 4),(3\ 4),} ( 1   2   3 ) , ( 1   3   2 ) , ( 1   2   4 ) , ( 1   4   2 ) , ( 1   3   4 ) , ( 1   4   3 ) , ( 2   3   4 ) , ( 2   4   3 ) , {\displaystyle (1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2),(1\ 2\ 4),(1\ 4\ 2),(1\ 3\ 4),(1\ 4\ 3),(2\ 3\ 4),(2\ 4\ 3),} ( 1   2   3   4 ) , ( 1   2   4   3 ) , ( 1   3   2   4 ) , ( 1   3   4   2 ) , ( 1   4   2   3 ) , ( 1   4   3   2 ) , ( 1   2 ) ( 3   4 ) , ( 1   3 ) ( 2   4 ) , ( 1   4 ) ( 2   3 ) {\displaystyle (1\ 2\ 3\ 4),(1\ 2\ 4\ 3),(1\ 3\ 2\ 4),(1\ 3\ 4\ 2),(1\ 4\ 2\ 3),(1\ 4\ 3\ 2),(1\ 2)(3\ 4),(1\ 3)(2\ 4),(1\ 4)(2\ 3)}

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