极点 (复分析)

亚纯函数的极点是一种特殊的奇点，它的表现如同${\displaystyle z-<!--\; -\; -->a=0}$在极点的极限值是${\displaystyle \mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$.也就是说

2.由性质1.可知,如果令函数

那么代入定义可知：

其中${\displaystyle \frac{1}{g(z)}}$在${\displaystyle z=a}$点解析。那么有${\displaystyle z=a}$是${\displaystyle h(z)}$的m阶零点。

3.由于${\displaystyle g}$是全纯函数，${\displaystyle f}$可以表示为：

这是一个洛朗级数，它的主部分是有限的。全纯函数${\displaystyle \underset{k\ge <!--\; \ge \; -->0}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_k(z-<!--\; -\; -->a{)}^k}$称为${\displaystyle f}$的正则部分。因此，点${\displaystyle a}$是${\displaystyle f}$的${\displaystyle n}$阶极点，当且仅当${\displaystyle f}$在${\displaystyle a}$处的罗朗级数中所有低于${\displaystyle -<!--\; -\; -->n}$的次数都为零，而${\displaystyle -<!--\; -\; -->n}$次项不为零。

如果函数${\displaystyle f}$的一阶导数在${\displaystyle a}$处具有简单极点，则${\displaystyle a}$是${\displaystyle f}$的一个分支点（英语：Branch point），但反过来不成立。

一个既不是极点又不是分支点的非可去奇点称为本性奇点。

除了一些孤立奇点外全纯的函数，且所有的奇点均为极点，则该函数称为亚纯函数。