变分学

变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理。同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，莫尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为普拉托问题。变分法可能是从约翰·伯努利（1696）提出最速曲线（brachistochrone curve）问题开始出现的。它立即引起了雅各布·伯努利和洛必达（Marquis de l'Hôpital）的注意。但欧拉首先详尽的阐述了这个问题。他的贡献始于1733年，他的《变分原理》（Elementa Calculi Variationum）寄予了这门科学这个名字。欧拉对这个理论的贡献非常大。勒让德（1786）确定了一种方法，但在对极大和极小的区别不完全令人满意。牛顿和莱布尼茨也是在早期关注这一学科，对于这两者的区别Vincenzo Brunacci（1810）、高斯（1829）、泊松（1831）、Mikhail Ostrogradsky（1834）、和雅可比（1837）都曾做出过贡献。Sarrus（1842）的由柯西（1844）浓缩和修改的是一个重要的具有一般性的成就。Strauch（1849）、Jellett（1850）、Otto Hesse（1857）、Alfred Clebsch（1858）、和Carll（1885）写了一些其他有价值的论文和研究报告，但可能那个世纪最重要的成果是Weierstrass所取得的。他关于这个理论的著名教材是划时代的，并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。1900年希尔伯特发表的23个问题中的第20和23个问题促进了其更深远的发展。在20世纪希尔伯特、埃米·诺特、Leonida Tonelli、昂利·勒贝格和雅克·阿达马等人做出重要贡献。Marston Morse将变分法应用在莫尔斯理论中。Lev Pontryagin、Ralph Rockafellar和Clarke广义变分法最优控制理论发展了新的数学工具。在理想情形下，一函数的极大值及极小值会出现在其导数为 0 {displaystyle 0} 的地方。同样地，求解变分问题时也可以先求解相关的欧拉-拉格朗日方程。以下以寻找连接平面上两点 ( x 1 , y 1 ) {displaystyle (x_{1},y_{1})} 和 ( x 2 , y 2 ) {displaystyle (x_{2},y_{2})} 最短曲线的例子，说明求解的过程。曲线的长度为其中函数 f {displaystyle f} 至少需为一阶可微的函数。若 f 0 {displaystyle f_{0}} 是一个局部最小值，而 f 1 {displaystyle f_{1}} 是一个在端点 x 1 {displaystyle x_{1}} 及 x 2 {displaystyle x_{2}} 取值为零并且至少有一阶导数的函数，则可得到以下的式子其中 ϵ {displaystyle epsilon } 为任意接近 0 {displaystyle 0} 的数字。因此 A [ f 0 + ϵ f 1 ] {displaystyle A} 对 ϵ {displaystyle epsilon } 的导数（A的一阶导数）在 ϵ = 0 {displaystyle epsilon =0} 时必为 0 {displaystyle 0} ：d d ϵ ∫ x 1 x 2 1 + [ f 0 ′ ( x ) + ϵ f 1 ′ ( x ) ] 2 d x | ϵ = 0 = ∫ x 1 x 2 ( f 0 ′ ( x ) + ϵ f 1 ′ ( x ) ) f 1 ′ ( x ) 1 + [ f 0 ′ ( x ) + ϵ f 1 ′ ( x ) ] 2 | ϵ = 0 d x = ∫ x 1 x 2 f 0 ′ ( x ) f 1 ′ ( x ) 1 + [ f 0 ′ ( x ) ] 2 d x = 0 {displaystyle {frac {d}{depsilon }}int _{x_{1}}^{x_{2}}left.{sqrt {1+^{2}}}dxright|_{epsilon =0}=int _{x_{1}}^{x_{2}}left.{frac {(f_{0}'(x)+epsilon f_{1}'(x))f_{1}'(x)}{sqrt {1+^{2}}}}right|_{epsilon =0}dx=int _{x_{1}}^{x_{2}}{frac {f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{sqrt {1+^{2}}}},dx=0}此条件可视为在可微分函数的空间中， A [ f 0 ] {displaystyle A} 在各方向的导数均为 0 {displaystyle 0} 。若假设 f 0 {displaystyle f_{0}} 二阶可微（或至少弱微分存在），则利用分部积分法可得其中 f 1 {displaystyle f_{1}} 为在两端点皆为0的任意二阶可微函数。这是变分法基本引理的一个特例：其中 f 1 {displaystyle f_{1}} 为在两端点皆为 0 {displaystyle 0} 的任意可微函数。若存在 x = x ^ {displaystyle x={hat {x}}} 使 H ( x ) > 0 {displaystyle H(x)>0} ，则在 x ^ {displaystyle {hat {x}}} 周围有一区间的H也是正值。可以选择 f 1 {displaystyle f_{1}} 在此区间外为 0 {displaystyle 0} ，在此区间内为非负值，因此 I > 0 {displaystyle I>0} ，和前提不合。若存在 x = x ^ {displaystyle x={hat {x}}} 使 H ( x ) < 0 {displaystyle H(x)<0} ，也可证得类似的结果。因此可得到以下的结论：由结论可推得下式：因此两点间最短曲线为一直线。在一般情形下，则需考虑以下的计算式其中f需有二阶连续的导函数。在这种情形下，拉格朗日量L在极值 f 0 {displaystyle f_{0}} 处满足欧拉-拉格朗日方程不过在此处，欧拉-拉格朗日方程只是有极值的必要条件，并不是充分条件。费马原理指出：光会沿着两端点之间所需光程最短的路径前进。假设 y = f ( x ) {displaystyle y=f(x)} 为光的路径，则光程可以下式表示：其中折射率 n ( x , y ) {displaystyle n(x,y)} 依材料特性而定。若选择 f ( x ) = f 0 ( x ) + ϵ f 1 ( x ) {displaystyle f(x)=f_{0}(x)+epsilon f_{1}(x)} ，则 A {displaystyle A} 的一阶导数（ A {displaystyle A} 对 ϵ {displaystyle epsilon } 的微分）为：将括号中的第一项用分部积分处理，可得欧拉-拉格朗日方程光线的路径可由上述的积分式而得。当光进入或离开透镜面时，折射率会有不连续的变化。考虑其中 n − {displaystyle n_{-}} 和 n + {displaystyle n_{+}} 是常数。在x<0或x>0的区域，欧拉-拉格朗日方程均和以上描述的相同。因为折射率在二个区域均为定值，在二个区域光都以直线前进。而在x=0的位置，f必须连续，不过f' 可以不连续。在上述二个区域用分部积分的方式解欧拉-拉格朗日方程，则其变分量为和 n − {displaystyle n_{-}} 相乘的系数是入射角的正弦值，和 n + {displaystyle n_{+}} 相乘的系数则是折射角的正弦值。若依照斯涅尔定律，上述二项的乘积相等，因此上述的变分量为0。因此斯涅尔定律所得的路径也就是要求光程一阶变分量为0的路径。费马原理可以用向量的形式表示：令 X = ( x 1 , x 2 , x 3 ) {displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3})} ，而t为其参数， X ( t ) {displaystyle X(t)} 是曲线C参数化的表示，而令 X ˙ ( t ) {displaystyle {dot {X}}(t)} 为其法线向量。因此在曲线上的光程长为上述积分和t无关，因此也和C的参数表示方式无关。使曲线最短的欧拉-拉格朗日方程有以下的对称形式其中依P的定义可得下式因此上述积分可改为下式依照上式，若可以找到一个函数ψ，其梯度为P，则以上的积分A就可以由在积分端点上ψ的差求得。以上求解曲线使积分量不变的问题就和ψ的level surface有关。为了要找到满足此条件的函数ψ，需要对控制光线传动的波动方程进行进一步的研究。最优控制的理论是变分法的一个推广