代数几何与解析几何

✍ dations ◷ 2025-07-11 11:44:14 #代数几何与解析几何

在数学中,代数几何与解析几何是两个关系密切的学科。代数几何研究代数簇,在复数域上,同时也能以复分析及微分几何的技术研究代数簇。让-皮埃尔·塞尔在1956年的同名论文中比较了这两种观点。在 SGA 第一册附录中,则以概形论的语言重新表述。

给定一个 C {displaystyle mathbb {C} } 上的局部有限型概形 X {displaystyle X} ,可以考虑相应的复解析空间 X a n {displaystyle X^{mathrm {an} }} 。此对应 X X a n {displaystyle Xmapsto X^{mathrm {an} }} 定义一个从局部有限型概形范畴到复解析空间范畴的函子。对任一 O X {displaystyle {mathcal {O}}_{X}} -模 F {displaystyle F} ,同样可考虑相应的 O X a n {displaystyle {mathcal {O}}_{X^{mathrm {an} }}} -模 F a n {displaystyle F^{mathrm {an} }} ,这也给出相应的函子。可以证明 F F a n {displaystyle Fmapsto F^{mathrm {an} }} 是一个正合、忠实且保守的函子。

论证中用到的关键性质是: O X {displaystyle {mathcal {O}}_{X}} 是平坦的 O X a n {displaystyle {mathcal {O}}_{X^{mathrm {an} }}} -模。

T X {displaystyle Tsubset X} 为一局部可构子集(即:局部闭集的有限并集),以下 T {displaystyle T} 的性质在 X {displaystyle X} 中成立,当且仅当在 X a n {displaystyle X^{mathrm {an} }} 中成立:

X {displaystyle X} 为有限型态射时,对于 X {displaystyle X} X a n {displaystyle X^{mathrm {an} }} 本身,下述性质也是相通的:

以下性质对 X {displaystyle X} 成立,当且仅当对 X a n {displaystyle X^{mathrm {an} }} 成立:

f : X Y {displaystyle f:Xto Y} 为概形的态射, f a n : X a n Y a n {displaystyle f^{mathrm {an} }:X^{mathrm {an} }to Y^{mathrm {an} }} 为复解析空间的相应态射,则下述性质对 f {displaystyle f} 成立当且仅当对 f a n {displaystyle f^{mathrm {an} }} 成立:

若再要求 f {displaystyle f} 是有限型态射,则可再加入下述性质:

以下假设 f : X Y {displaystyle f:Xto Y} 是真态射,对任一个凝聚 O X {displaystyle {mathcal {O}}_{X}} -模 F {displaystyle F} ,有自然同构:

Y = S p e c C {displaystyle Y=mathrm {Spec} ,mathbb {C} } 时,遂有层上同调的比较定理:

此时 F F a n {displaystyle Fmapsto F^{mathrm {an} }} 给出范畴的等价。

黎曼存在性定理则断言:若 X {displaystyle X} C {displaystyle mathbb {C} } -上的局部有限型概形,且 X X a n {displaystyle {mathcal {X}}'to X^{mathrm {an} }} 是复解析空间的有限平展覆盖,则存在 C {displaystyle mathbb {C} } -概形 X {displaystyle X'} 及平展态射 X X {displaystyle X'to X} ,使得 X a n X {displaystyle X'^{mathrm {an} }sim {mathcal {X}}'} 。此外,函子 X X a n {displaystyle X'mapsto X'^{mathrm {an} }} 给出从【 X {displaystyle X} 的有限平展覆盖】到【 X a n {displaystyle X^{mathrm {an} }} 的有限平展覆盖】的范畴等价。

X {displaystyle X} 为连通时,此定理的一个直接推论是代数基本群与拓扑基本群的比较定理:

其中 x 0 X ( C ) {displaystyle x_{0}in X(mathbb {C} )} ,而 π 1 ( X a n , x 0 ) ^ {displaystyle {widehat {pi _{1}(X^{mathrm {an} },x_{0})}}} 表示代数基本群 π 1 ( X a n , x 0 ) {displaystyle pi _{1}(X^{mathrm {an} },x_{0})} 对有限指数子群的完备化。

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