自由对象

✍ dations ◷ 2025-07-09 23:28:19 #抽象代数,对象 (范畴论),自由代数结构

在数学中,自由对象是抽象代数中的基本概念。就其通于各种代数结构(带有限操作)而言,它也属泛代数的一支,例子包括自由群、张量代数与自由格。在范畴论的框架下,可以将自由对象推广为自由函子,这是遗忘函子的左伴随函子。

范畴论为自由对象提供了普遍框架。考虑一种代数结构(如群、模等等)的范畴 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 。其上具有一个遗忘函子 U : C S e t {\displaystyle U:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} } ,此函子将一个对象映至其下的集合;换言之,此函子“遗忘”所有代数操作。

U {\displaystyle U} 有左伴随函子 F : S e t C {\displaystyle F:\mathbf {Set} \to {\mathcal {C}}} ,则称之为 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 的自由函子。 F ( X ) {\displaystyle F(X)} 可以设想为由集合 X {\displaystyle X} 生成的自由对象,此时也有映射 X F ( X ) {\displaystyle X\to F(X)} (在此滥用了符号:其实 F ( X ) {\displaystyle F(X)} 是个代数结构,而 X {\displaystyle X} 却是集合),此映射可理解为从生成元到自由对象的包含映射。

对于更一般的遗忘函子,也能考虑相应的自由函子,例如从 k {\displaystyle k} -向量空间映至其张量代数的函子,便是从 k {\displaystyle k} -代数映至 k {\displaystyle k} -向量空间的遗忘函子之左伴随函子。在此意义下,张量代数有时也称为自由代数。

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