卡咯提的-昆达利尼函数

✍ dations ◷ 2025-07-11 12:57:19 #特殊函数

卡咯提的-昆达利尼函数(Carotid-Kundalili Function)定义如下

K ( n , x ) = c o s ( n x a r c c o s ( x ) ) {\displaystyle K(n,x)=cos(n*x*arccos(x))}

K ( n , x ) = i ( 2 n x arccos ( x ) + π ) W h i t t a k e r M ( 0 , 1 / 2 , i ( 2 n x arccos ( x ) + π ) ) 4 n x arccos ( x ) + 2 π {\displaystyle K(n,x)={\frac {-i\left(2\,nx\arccos \left(x\right)+\pi \right){{\rm {\it {WhittakerM}}}\left(0,\,1/2,\,i\left(2\,nx\arccos \left(x\right)+\pi \right)\right)}}{4\,nx\arccos \left(x\right)+2\,\pi }}}

K ( n , x ) 1 ( 1 / 8 ) n 2 π 2 x 2 + ( 1 / 2 ) n 2 π x 3 + ( ( 1 / 384 ) n 4 π 4 ( 1 / 2 ) n 2 ) x 4 + ( ( 1 / 48 ) n 4 π 3 + ( 1 / 12 ) n 2 π ) x 5 + O ( x 6 ) {\displaystyle K(n,x)\approx {1-(1/8)*n^{2}*\pi ^{2}*x^{2}+(1/2)*n^{2}*\pi *x^{3}+((1/384)*n^{4}*\pi ^{4}-(1/2)*n^{2})*x^{4}+(-(1/48)*n^{4}*\pi ^{3}+(1/12)*n^{2}*\pi )*x^{5}+O(x^{6})}}

帕德近似:

K ( n , x ) { 1800.0 + ( 36.4 n 4 + 516.0 ) x + ( 46.3 n 4 1830.0 n 2 71.0 ) x 2 + ( 1820.0 n 2 + 37.4 n 6 44.3 n 4 + 81.9 ) x 3 1800.0 + ( 36.4 n 4 + 516.0 ) x + ( 46.3 n 4 + 368.0 n 2 71.0 ) x 2 + ( 7.48 n 6 44.3 n 4 363.0 n 2 + 81.9 ) x 3 } {\displaystyle K(n,x)\approx \left\{{\frac {1800.0+\left(-36.4\,{n}^{4}+516.0\right)x+\left(-46.3\,{n}^{4}-1830.0\,{n}^{2}-71.0\right){x}^{2}+\left(1820.0\,{n}^{2}+37.4\,{n}^{6}-44.3\,{n}^{4}+81.9\right){x}^{3}}{1800.0+\left(-36.4\,{n}^{4}+516.0\right)x+\left(-46.3\,{n}^{4}+368.0\,{n}^{2}-71.0\right){x}^{2}+\left(-7.48\,{n}^{6}-44.3\,{n}^{4}-363.0\,{n}^{2}+81.9\right){x}^{3}}}\right\}}

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