差拓扑结构中，球面外翻（Sphere eversion）是指在三维空间中，将球面从内向外翻。值得注意的是，我们有办法在不割开、撕裂或制造折痕的前提下，连续且光滑地将球面由内向外翻（有可能产生自交（英语：Self-intersection））。 这对非数学家甚至是了解定期同伦（英语：Regular homotopy）的人来说都十分意外，并可以被视为一种真诡论：乍看下是假，实际上为真。
更准确地说，令
为标准嵌入，则有一个定期同伦的浸入
使得0 = 且 1 = −
无折痕球面外翻的存在性证明是由史蒂芬·斯梅尔于1957年率先完成。虽然已经有一些电脑动画帮助人们想像，但很难提供这种翻转的动画片。第一个展示性的例子经过数位数学家的努力才完成，包括弗拉基米尔·阿诺尔德和盲人数学家伯纳德·莫兰（英语：Bernard Morin）。另一方面，证明这样的“翻转”存在容易多了，这就是斯梅尔证明的事。
刚开始斯梅尔的博士指导老师拉乌尔·博特告诉他这件事显然是错误的（Levy 1995）。他的推论是，映射度的高斯映射必须保存在这种“翻转”—特别地，这表示在R2没有这种S1的翻转。但在R3中， 嵌入 和 −对应的高斯映射 在 R3 都等于1，并且没有相反的符号作猜测。 所有 R3 中S2的浸入，它对应的高斯映射映射度都是1，所以没有问题。“真悖论”也许更适合用在这个级别：在斯梅尔的工作之前，没有任何尝试论证或反正外翻 S2的纪录，所以历史上并没有关于球面外翻的纪录，只有第一次面对视觉化球面外翻的人，所留下对其精妙之处的赞扬。
进一步的一般化在h-原理（英语：Homotopy principle）。
