安培环路定律

安培环路定律（英语：Ampère's circuital law）常直接简称为“安培定律”，是由安德烈-马里·安培于1826年提出的一条静磁学基本定律。

安培环路定律表明了：在真空中载流导线所载有的稳恒电流，与磁感应强度沿着环绕导线的任意闭合回路（环路，closed loop）的路径积分（环场积），两者之间的关系为

其中，${\displaystyle \mathbb{C}}$是环绕着导线的闭合回路，${\displaystyle \mathbf{B}}$是磁感应强度（又称为B场），${\displaystyle \mathrm{d}\mathit{\ell <!--\; \ell \; -->}}$是微小线元素向量，${\displaystyle {\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0}$是磁常数，${\displaystyle I_{\text{enc}}}$是闭合回路${\displaystyle \mathbb{C}}$所围住的电流。

亦即，在真空中的稳恒电流会产生稳恒磁场，而磁感应强度B沿任意环绕载流导线的闭合路径的线积分值（环场积），等于该选取的环路（安培环路）所包围的总电流值（各个电流的代数和）乘以真空磁导率。

1861年，詹姆斯·麦克斯韦又将这方程重新推导一遍，使得符合电动力学条件，并且发表结果于论文《论物理力线》内。麦克斯韦认为，含时电场会生成磁场，假若电场含时间，则前述安培定律方程不成立，必须加以修正。经过修正后，新的方程称为麦克斯韦-安培方程，是麦克斯韦方程组中的一个方程，以积分形式表示为

其中，${\displaystyle \mathbb{S}}$是边缘为${\displaystyle \mathbb{C}}$的任意曲面，${\displaystyle \mathbf{J}}$是穿过曲面${\displaystyle \mathbb{S}}$的电流的电流密度，${\displaystyle \mathbf{D}}$是电位移，${\displaystyle \mathrm{d}\mathbf{a}}$是微小面元素向量。

载流循环所产生的磁场方向可以使用右手定则来判断。其方法为将拇指外的四根手指向手掌弯的方向视为磁场方向，则拇指所指的方向即为电流的方向。

右手定则也可以用来辨明一条电线四周磁场的方向。对于这用法，右手定则称为“安培右手定则”，或“安培定则”。如右图，安培右手定则表明，假若将右手的大拇指朝着电线的电流方向指去，再将四根手指握紧电线，则四根手指弯曲的方向为磁场的方向。

安培环路定律的历史原版形式，连结了磁场与源电流。这定律可以写成两种形式，积分形式和微分形式。根据开尔文－斯托克斯定理（即ℝ³上的斯托克斯公式），对于任意向量${\displaystyle \mathbf{F}}$，

所以，这两种形式是等价的。

电流${\displaystyle I}$在一个曲面${\displaystyle \mathbb{S}}$上的通量，等于磁场${\displaystyle \mathbf{B}}$沿着${\displaystyle \mathbb{S}}$的边缘闭合回路${\displaystyle \mathbb{C}}$的路径积分。采用国际单位制（后面会讲述CGS单位制版本），原版安培环路定律的积分形式可以写为：

请注意到这方程有些模糊之处，需要特别澄清：

安培环路定律可由毕奥-萨伐尔定律和磁场的叠加性证明（请参阅毕奥-萨伐尔定律）。在静磁学中，安培环路定律的角色与高斯定律在静电学的角色类似。当系统组态具有适当的对称性时，我们可以利用这对称性，使用安培环路定律来便利地计算磁场。例如，当计算一条直线的载流导线或一个无限长螺线管的磁场时，可以采用圆柱坐标系来匹配系统的圆柱对称性。

根据开尔文－斯托克斯定理，这方程也可以写为微分形式。只有当电场不含时间的时候，也就是说，当电场对于时间的偏微分等于零的时候，这方程才成立。采用国际单位制，这方程表示为

磁场${\displaystyle \mathbf{B}}$的旋度等于（产生该磁场的）传导电流密度${\displaystyle \mathbf{J}}$。

电流可以细分为自由电流和束缚电流，而束缚电流又可分类为磁化电流和电极化电流。以方程表示，总电流密度${\displaystyle \mathbf{J}}$是

其中，${\displaystyle {\mathbf{J}}_f}$是自由电流密度或传导电流密度，${\displaystyle {\mathbf{J}}_M}$是磁化电流密度，${\displaystyle {\mathbf{J}}_P}$是电极化电流密度。

从微观而言，所有的电流基本上是一样的。但是，由于实用原因，物理学家会将电流分类为自由电流和束缚电流，对于每一类电流有不同的处理方式。例如，束缚电流通常发生于原子尺寸。物理学家或许想要使用较简单但适用于较大尺寸状况的理论。因此，较微观的安培定律，以B场${\displaystyle \mathbf{B}}$和微观电流（包括自由电流和束缚电流）来表达的定律，有时候会被替代为等价的形式，以附属磁场（又称为H场）${\displaystyle \mathbf{H}}$和自由电流来表达的形式。后面证明段落，会有详细的关于自由电流和束缚电流的定义，与两种表述等价的证明。

通常在教科书内所提及的单独的“电流”二字，都是指的自由电流，即自由载流子（电子及阴阳离子）的定向移动。例如，通过一条导线或一个电池的电流。自由电流与后面提到的束缚电流明显不同，后者出现于可以被磁化或电极化的宏观物质里（每一种物质都会或多或少地被电极化或磁化）。

当一个物质被磁化的时候（例如，将此物质置入外磁场），电子仍旧会束缚于它们所属的原子。但是，它们的物理行为会有所改变（会与感受到的磁场耦合），产生微观电流。将这些电流总合在一起，会有如同宏观电流一般的效应，环绕于磁化物体内部或表面。称这电流为磁化电流，是束缚电流的一部分。称磁化电流的密度为“体磁化电流密度”${\displaystyle {\mathbf{J}}_M}$，用方程定义为

其中，${\displaystyle \mathbf{M}}$是磁化强度（单位体积的磁偶极矩）。

束缚电流的另外一种来源是电极化电流。感受到电场的作用，可电极化物质内的正束缚电荷和负束缚电荷会以原子距离相互分离。假设电场随着时间而变化，束缚电荷也会随着时间而移动，因而产生“电极化电流”，称其密度为“电极化电流密度”${\displaystyle {\mathbf{J}}_P}$，用方程定义为

其中，${\displaystyle \mathbf{P}}$是电极化强度。

注意到电极化强度的定义式

其中，${\displaystyle {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_b}$是“体束缚电荷密度”。

取电极化电流密度的散度：

所以，电极化电流密度与体束缚电荷密度的关系为

原版安培环路定律只适用于静磁学。在电动力学里，当物理量含时间，有些细节必须仔细检查。思考安培方程，

其中，${\displaystyle \mathbf{B}}$是B场，${\displaystyle {\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0}$是磁常数，${\displaystyle \mathbf{J}}$是总电流。

取散度于这方程，则会得到

应用一个向量恒等式，旋度的散度必定等于零。所以，

这意味着电流密度的散度等于零：

在静磁学内，这是正确的。但是，出了静磁学范围，当电流不稳定的时候，这就不一定正确了。

举个经典例子，如图右，一个正在充电的电容器，其两片金属板会随着时间分别累积异性电荷。设定表面${\displaystyle \mathbb{L}}$的边缘为闭合回路${\displaystyle \mathbb{C}}$。应用安培定律，

在这里，${\displaystyle I_{\text{enc}}}$是通过任意曲面的电流，只要这曲面符合一个条件：边缘为闭合回路${\displaystyle \mathbb{C}}$。所以，这任意曲面可以是表面${\displaystyle \mathbb{L}}$，而${\displaystyle I_{\text{enc}}}$是${\displaystyle I}$；或者这任意曲面可以是封闭圆柱表面减去左边表面${\displaystyle \mathbb{S}-<!--\; -\; -->\mathbb{L}}$，而由于通过这任意曲面的电流是${\displaystyle 0}$，${\displaystyle I_{\text{enc}}}$是${\displaystyle 0}$。选择不同的曲面会得到不同的答案，这在物理学里，是绝对不允许发生的事。

为了解决上述难题，安培环路定律必须加以修改延伸。应用流体力学的方法，麦克斯韦摹想磁场为电介质涡旋（vortex）大海，而位移电流即为大海内的电极化电流。在他于1861年发表的论文《论物理力线》里面，麦克斯韦将位移电流项目加入了安培定律。

在自由空间内，位移电流跟电场随着时间的变化率有关；而在电介质内，上述贡献仍旧存在，但另外一个重要贡献则与电介质的电极化有关。虽然电荷不能自由地运动于电介质，感受到外电场的作用，分子的束缚电荷可以做微小的运动。因此，正值和负值的束缚电荷会产生小距离的分离，造成电极化的增加，这可以用变量电极化强度${\displaystyle P}$来表达。电极化强度随着时间的变化所产生的效应就是电极化电流。

位移电流密度${\displaystyle {\mathbf{J}}_D}$定义为

其中，${\displaystyle \mathbf{D}}$是电位移，定义为

其中，${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}$是电常数，${\displaystyle \mathbf{P}}$是电极化强度。

所以，位移电流密度分为两个部分：

这方程右手边的第一个项目是麦克斯韦修正项目，在任何地方都可存在，甚至在真空也可以存在。麦克斯韦修正项目并不涉及任何真实的电荷运动，但是，它描述一个含时电场的物理行为，就好像是真实的电流。第二个项目是电极化电流密度，与电介质内单独分子的极化性有关。

将麦克斯韦修正项目加入安培方程：

或者，使用H场${\displaystyle \mathbf{H}}$和位移电流${\displaystyle \mathbf{D}}$来表达，

这就是麦克斯韦-安培方程，可以补救原本安培环路定律的限制。

假若使用B场${\displaystyle \mathbf{B}}$的麦克斯韦-安培方程，由于习惯，时常会称${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{E}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}}$项目为位移电流密度。由于增添了位移电流，麦克斯韦能够推论（正确地）光波是一种电磁波（请参阅电磁波条目）。

等价于方程

注意到只处理微分形式，而不处理积分形式。但这已足够了。因为，根据开尔文-斯托克斯定理，微分形式等价于积分形式。

回想电位移的定义式为

还有，${\displaystyle \mathbf{H}}$的定义式为

将这两个定义式代入H场${\displaystyle \mathbf{H}}$的麦克斯韦-安培方程，

经过一番运算，可以得到

稍加整理，即可得到磁场${\displaystyle \mathbf{B}}$的麦克斯韦-安培方程

采用CGS单位制，安培方程的积分形式，包括麦克斯韦修正项目，可以写为

其中，${\displaystyle c}$是光速。

其微分形式可以写为