Maple

✍ dations ◷ 2025-07-11 22:41:21 #数值分析软件,C软件,计算笔记本,Linux计算机代数系统软件,MacOS计算机代数系统软件,Windows计算机代数系统软件,跨平台软件,数据可视化软件,数据

MAPLE是一个符号运算和数值计算软件平台

用户能够直接使用传统数学符号进行输入,也可以定制个性化的界面。对于数值计算有额外的支持,能够扩展到任意精度,同时亦支持符号演算及可视化。符号演算的例子参见下文。Maple内建有一种动态的命令行风格的编程语言,该语言支持具有作用域的变量。同时亦有其他语言的接口(C、FORTRAN、Java、Matlab和Visual Basic)。还具有与Excel进行交互的接口。

Maple由一个很小的由C语言编写的内核提供Maple语言。许多功能由各种来源的函数库提供。许多数值计算由NAG数值计算库, ATLAS库, GNU多精度库提供。大部分库由Maple语言编写,并且可查看源代码。

Maple中不同的功能需要不同格式的数值数据。符号表达式在内存中以有向无环图的形式存储。标准界面和计算界面由Java语言编写。经典界面由C语言编写。


简单命令式程序的构造:

myfac := proc(n::nonnegint)   local out, i;   out := 1;   for i from 2 to n do       out := out * i   end do;   outend proc;

一些简单的函数也可以使用直观的箭头表示法表示

myfac := n -> product( i, i=1..n );

开方

evalf(2^1/12)

1.059463094359295264561825294946341700779204317494185628559208431458761646063255722383768376863945569

f:=x^2-63*x+99=0;

solve(f,x);

63 2 + 3 2 ( 397 ) {\displaystyle {\frac {63}{2}}+{\frac {3}{2}}*{\sqrt {(}}397)} , 63 2 3 2 ( 397 ) {\displaystyle {\frac {63}{2}}-{\frac {3}{2}}*{\sqrt {(}}397)}

f := x^7+3*x = 7;

solve(f,x);

evalf(%);


f := sin(x)^3+5*cosh(x) = 0;


s i n 3 ( x ) + 5 c o s h ( x ) = 0 {\displaystyle sin^{3}(x)+5cosh(x)=0}

> solve(f, x);


RootOf( s i n 3 ( Z ) a r c c o s h ( 1 5 s i n ( Z ) ) ) {\displaystyle sin^{3}(Z)-arccosh({\frac {-1}{5}}sin(Z)))}

> evalf(%);

根据 x y > 6 {\displaystyle x-y>6} ,寻找 ( x + y ) 5 = 9 {\displaystyle (x+y)^{5}=9} 的所有整数解。

solve({x-y > 6, (x+y)^5 = 9}, );

答案: {\displaystyle }

计算矩阵的行列式。

M:= Matrix(], , ]);  # 矩阵样例
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\a&b&c\\x&y&z\end{bmatrix}}}
with(LinearAlgebra)
m:=Determinant(M);

答案: b z c y + 3 a y 2 a z + 2 x c 3 x b {\displaystyle bz-cy+3ay-2az+2xc-3xb}

with(VectorCalculus);

w:=Wronskian(,x)

Matrix(3, 3, {(1, 1) = 1, (1, 2) = x, (1, 3) = x^3+x-1, (2, 1) = 0, (2, 2) = 1, (2, 3) = 3*x^2+1, (3, 1) = 0, (3, 2) = 0, (3, 3) = 6*x})

d:=Determinant(w);

J := Jacobian(, );

m:=Matrix(2, 2, {(1, 1) = cos(t), (1, 2) = -r*sin(t), (2, 1) = sinh(t), (2, 2) = r*cosh(t)})

d:=Determinant(m);

sin(t)*r^2*sinh(t)-2r^2cos(t)cosh(t)

f := x^3+y*cos(x)+t*tan(y))

with(VectorCalculus);

h:=hessian(f,);

{\displaystyle {\begin{bmatrix}6*x-y*cos(x)&-sin(x)&0\\-sin(x)&2*t*tan(y)*(1+tan(y)^{2})&1+tan(y)^{2}\\0&1+tan(y)^{2}&0\end{bmatrix}}}

cos ( x a ) d x {\displaystyle \int \cos \left({\frac {x}{a}}\right)dx} .

int(cos(x/a), x);

答案: a sin ( x a ) {\displaystyle a\sin \left({\frac {x}{a}}\right)}

sin ( x a ) d x {\displaystyle \int \sin \left({\frac {x}{a}}\right)dx} .

int(sin(x/a), x);

答案: a cos ( x a ) {\displaystyle -a\cos \left({\frac {x}{a}}\right)}

注意:Maple在积分时不提供常数项C,必须自行补上。

> int(cos(x/a), x = 1 .. 5);


计算以下线性常微分方程的一个精确解 d 2 y d x 2 ( x ) 3 y ( x ) = x {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}(x)-3y(x)=x} 初始条件为 y ( 0 ) = 0 , d y d x | x = 0 = 2 {\displaystyle y(0)=0,\quad \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=0}=2}

dsolve( {diff(y(x),x,x) - 3*y(x) = x, y(0)=0, D(y)(0)=2}, y(x) );

答案: y ( x ) = 7 18 3 e 3 x 7 18 3 e 3 x 1 3 x {\displaystyle y(x)={\frac {7}{18}}{\sqrt {3}}e^{{\sqrt {3}}x}-{\frac {7}{18}}{\sqrt {3}}e^{-{\sqrt {3}}x}-{\frac {1}{3}}x}

dsolve(diff(y(x), x, x) = x^2*y(x))

解:

+ C 2 ( x ) {\displaystyle C_{2}{\sqrt {(}}x)} BesselK( 1 4 {\displaystyle 1 \over 4} , 1 2 {\displaystyle 1 \over 2} x 2 {\displaystyle x^{2}} )

series(tanh(x),x=0,15)
x 1 3 x 3 + 2 15 x 5 17 315 x 7 {\displaystyle x-{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}-{\frac {17}{315}}\,x^{7}}
+ 62 2835 x 9 1382 155925 x 11 + 21844 6081075 x 13 + O ( x 15 ) {\displaystyle +{\frac {62}{2835}}\,x^{9}-{\frac {1382}{155925}}\,x^{11}+{\frac {21844}{6081075}}\,x^{13}+{\mathcal {O}}(x^{15})}
f:=int(exp^cosh(x),x)series(f,x=0,15);
e x + 1 6 e x 3 + 1 30 e x 5 + 31 5040 e x 7 + 379 362880 e x 9 {\displaystyle ex+{\frac {1}{6}}ex^{3}+{\frac {1}{30}}ex^{5}+{\frac {31}{5040}}ex^{7}+{\frac {379}{362880}}ex^{9}}
+ 149 907200 e x 11 + 150349 6227020800 e x 13 + 4373461 1307674368000 e x 15 + O ( x 17 ) {\displaystyle +{\frac {149}{907200}}ex^{11}+{\frac {150349}{6227020800}}ex^{13}+{\frac {4373461}{1307674368000}}ex^{15}+{\mathcal {O}}(x^{17})}

拉普拉斯变换

with(inttrans);

> f := (1+A*t+B*t^2)*exp(c*t);

( 1 + A t + B t 2 ) e c t {\displaystyle (1+A*t+B*t^{2})*e^{c*t}}

> laplace(f, t, s);

1 s c + A ( s c ) 2 + 2 B ( s c ) 3 {\displaystyle {\frac {1}{s-c}}+{\frac {A}{(s-c)^{2}}}+{\frac {2B}{(s-c)^{3}}}}

invlaplace(1/(s-a),s,x)

e a x {\displaystyle e^{ax}}

z := y(t);

d 2 d t 2 y ( t ) + a d d t y ( t ) = b y ( t ) {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y(t)+a{\frac {d}{dt}}y(t)=by(t)}

with(inttrans);


d 2 d t 2 y ( t ) + a d d t y ( t ) = b y ( t ) {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y(t)+a{\frac {d}{dt}}y(t)=by(t)}

with(inttrans);

fourier(sin(x),x,w)

Π {\displaystyle \Pi } *(Dirac(w-1)+Dirac(w+1))

绘制函数 y = x sin x {\displaystyle y=x\cdot \sin x} x ( 10 , 10 ) {\displaystyle x\in (-10,10)}

plot(x*sin(x),x=-10..10);

Mathematica1DPlot.svg

绘制函数 x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} 的范围为 -1到1

plot3d(x^2+y^2,x=-1..1,y=-1..1);

Mapleplot.jpg

f := 2 k 2 / c o s h ( k ( x 4 k 2 t ) ) 2 {\displaystyle f:=2*k^{2}/cosh(k*(x-4*k^{2}*t))^{2}}

with(plots);

animate(subs(k = .5, f), x = -30 .. 30, t = -10 .. 10, numpoints = 200, frames = 50, color = red, thickness = 3);

with(plots)

animate3d(cos(t*x)*sin(3*t*y), x = -Pi .. Pi, y = -Pi .. Pi, t = 1 .. 2)

求解偏微分方程组

条件为 v ( x , t ) 0 {\displaystyle v(x,t)\neq 0} .

eqn1:= diff(v(x, t), x) = -u(x,t)*v(x,t):eqn2:= diff(v(x, t), t) = -v(x,t)*(diff(u(x,t), x))+v(x,t)*u(x,t)^2:eqn3:= diff(u(x,t), t)+2*u(x,t)*(diff(u(x,t), x))-(diff(diff(u(x,t), x), x)) = 0:pdsolve({eqn1,eqn2,eqn3,v(x,t)<>0},): op(%);

答案:  v ( x , t ) = e _ c 1 x _ C 3 e _ c 1 t _ C 1 + _ C 3 e _ c 1 t _ C 2 e _ c 1 x ,     u ( x , t ) = _ c 1 ( _ C 1 ( e _ c 1 x ) 2 _ C 2 ) _ C 1 ( e _ c 1 x ) 2 + _ C 2 {\displaystyle v\left(x,t\right)={e^{{\sqrt {{\it {\_c}}_{1}}}x}}{\it {\_C3}}\,{e^{{\it {\_c}}_{1}t}}{\it {\_C1}}+{\frac {{\it {\_C3}}\,{e^{{\it {\_c}}_{1}t}}{\it {\_C2}}}{e^{{\sqrt {{\it {\_c}}_{1}}}x}}},\ \ u\left(x,t\right)=-{\frac {{\sqrt {{\it {\_c}}_{1}}}\left({\it {\_C1}}\,\left({e^{{\sqrt {{\it {\_c}}_{1}}}x}}\right)^{2}-{\it {\_C2}}\right)}{{\it {\_C1}}\,\left({e^{{\sqrt {{\it {\_c}}_{1}}}x}}\right)^{2}+{\it {\_C2}}}}}

寻找函数 f {\displaystyle f} 满足积分方程 f ( x ) 3 1 1 ( x y + x 2 y 2 ) f ( y ) d y = h ( x ) {\displaystyle f(x)-3\int _{-1}^{1}(xy+x^{2}y^{2})f(y)dy=h(x)} .

eqn:= f(x)-3*Integrate((x*y+x^2*y^2)*f(y), y=-1..1) = h(x):intsolve(eqn,f(x));

答案: f ( x ) = 1 1 ( 15 x 2 y 2 3 x y ) h ( y ) d y + h (

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