联络 (主丛)

在数学中，丛上一个联络是定义了一种平行移动概念的装置；即将邻近点上的纤维“连接”或等价的一种方法。光滑流形上主G-丛上一个主-联络是一类特殊的联络，它与群的作用相容。

主联络可以视为是埃雷斯曼联络概念的一类特例，经常称为主埃雷斯曼联络。它给出了通过配丛构造相配于的任何纤维丛上一个（埃雷斯曼）联络。特别地，在任何配向量丛上主联络诱导了一个共变导数，一个能对这个丛的光滑截面关于沿着底流形上切方向微分的算子。主联络将光滑流形标架丛上的线性联络推广到任何主丛上。

设:→是光滑流形上一个光滑主-丛。则上一个主-联络是上一个取值于的李代数${\displaystyle \mathfrak{g}}$-等变以及产生上的基本向量场的李代数生成集。

换句话说，它是${\displaystyle {\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^1(P,\mathfrak{g})\cong <!--\; \cong \; -->C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(P,T^{\ast <!--\; \ast \; -->}P)\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathfrak{g}}$使得

有时术语“主G-联络”表示二元组(,)，而自己称为这个主联络的联络形式或联络1-形式。

上一个主G-联络以如下方式确定了上一个埃雷斯曼联络。首先注意到基本向量场生成了在上的作用给出了从的铅直丛（满足=(₍₎)到${\displaystyle P\times <!--\; \times \; -->\mathfrak{g}}$定义了惟一的丛映射:→，在上是恒同。这个投影由它的核惟一确定，它是的一个光滑子丛（称为水平丛）使得=⊕。这是一个埃雷斯曼联络。

反之，上一个埃雷斯曼联络⊂（或:→）定义了一个主-联络当且仅当它在${\displaystyle H_{pg}=\mathrm{d}(R_g{)}_p(H_p)}$-等变。

主丛的一个局部平凡化由在一个的开子集上的一个截面给出。则主联络的拉回*是一个上一个取值于${\displaystyle \mathfrak{g}}$被由(，) = ()()定义的一个新截面代替，这里:→是一个光滑映射，则()* = *+-1d。主联络惟一地由这样一族${\displaystyle \mathfrak{g}}$通过右平移作用在切丛。商空间/也是一个流形，继承了上一个纤维丛结构，可记作:/→。设ρ:/→是到的投影映射。丛/的纤维在投影ρ下携带一个加法结构。

丛/称为主联络丛（Kobayashi 1957）。dπ:/→ A的一个截面Γ使得Γ : → /是上向量丛的一个线性同态，可与中一个主联络等同。反之，如上定义的一个主联络给出了这样/的一个截面Γ。

最后，设Γ是这样意义的一个主联络。令:→/是其商映射。联络的水平分布是丛

如果与是主丛上两个主联络，则差- 是上一个${\displaystyle \mathfrak{g}}$-等变，也是水平的。这里所谓水平是指在的任何铅直丛上为零。从而它是基本的，因此能被上取值于伴随丛

一个1－形式确定。反之，任何这样的形式定义了（通过拉回）上一个-等变水平1-形式。所以主-联络的空间是关于这个1-形式空间的一个仿射空间。

对的任何线性表示，有一个上的配向量丛${\displaystyle P{\times <!--\; \times \; -->}_{G}W}$上截面的空间同构于上-等变-值函数的事实来定义。更一般地，取值于${\displaystyle P{\times <!--\; \times \; -->}_{G}W}$-形式之空间等同于上-等变且水平的-值-形式之空间。如果是这样一个-形式，则其外导数d，尽管-等变，但不再水平。不过，复合d+Λ却是。这样定义了一个外共变导数d从上${\displaystyle P{\times <!--\; \times \; -->}_{G}W}$-形式到上${\displaystyle P{\times <!--\; \times \; -->}_{G}W}$+1)-形式。特别地，当=0，我们得到了${\displaystyle P{\times <!--\; \times \; -->}_{G}W}$-联络的曲率形式是${\displaystyle \mathfrak{g}}$-等变以及水平的，从而对应于一个上取值为${\displaystyle {\mathfrak{g}}_M}$是标架丛，或更一般地如果他有一个焊接形式（英语：solder form）（solder form），则此联络是仿射联络的一个例子，曲率不仅不变，由焊接形式的加法结构，也要考虑到它是上一个Rn-值1-形式。特别地，上的挠率形式，是一个Rn-值2-形式Θ定义为

Θ是-等变及水平的，从而它下降为上一个切值2-形式，称为挠率。这个等式也称为“第一结构方程”。