色散关系

在物理科学和电气工程学中，色散关系描述波在介质中传播的色散现象的性质。色散关系将波的波长或波数与其频率建立了联系。由这组关系，波的相速度和群速度有了方便的确定介质中折射率的表达式。克拉莫-克若尼关系式可以描述波的传播、衰减（英语：attenuation）的频率依赖性，这关系比与几何相关和与材料相关的色散关系更具一般性。

色散的原因可能是几何边界条件（波导、浅水）或是波与传输介质间的相互作用。基本粒子（被认为是物质波）即使在没有集合约束和其他介质存在下也会有非平凡的色散关系。

在存在色散的情况下，波速不再唯一定义，从而产生了相速度和群速度的区别。

当不同波长的平面波表现出不同的传播速度时，色散会发生，如此造成混合各种波长的波包渐渐地在空间中扩展开来。平面波的速率为波长${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$之间具有恒等式：

函数()指出了该介质中的色散关系。色散关系更常用角频率${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}f}$成为的函数。使用ω()来描述色散关系已经成为一种标准写法，因为相速度 ω/ 与群速度 ∂ω/∂ 可以轻松地从这样写法的色散关系中求得。

因此所关注的平面波可写为如下数学式：

其中

真空中的平面波是波传递最简单的例子：无几何上的限制，无传导介质的相互作用。

对真空中的电磁波而言，角频率与波数呈正比：

这是“线性”的色散关系。在此情形下，相速度与群速度乃是相同的：

两者皆为，真空中的光速，为与频率无关的常数。

粒子的总能量、动量与质量透过如下相对论关系连结：

其中${\displaystyle m}$为零时，比如光子的例子：

又静质量不为零的粒子，当其接近光速时，项远大于2项，因此关系式可趋近于 = 。其在非相对论极限，也就是速度远小于光速的情形，可趋近于如下关系式：

此情形下，${\displaystyle m{c}^2}$与的关系是从转成2，在垂直轴跟水平轴皆取对数log的色散关系图中可看出斜率的改变。

基本粒子、原子核、原子，甚至是分子，皆有物质波的波动表现。根据描述物质波的“德布罗意关系”，能量与角频率之间以及动量与波数之间皆为正比关系，比值为约化普朗克常数ħ：

相应地，角频率与波数之间也可透过色散关系连结。在非相对论极限（低速度极限的牛顿力学）条件下，利用能量（动能）与动量的关系式：

此处省去常数2的效应。等式左右分别代入德布罗意关系，可得色散关系：

此动画描绘了三颗（慢速度）自由电子以德布罗意相速度与群速度行经了宽度为0.4Å的区域。每单位质量的动量，称为固有速度。中间电子的固有速度为光速，其群速度则为0.707 ；上方电子则有中间电子的两倍动量，下方电子则有中间电子的一半动量。注意到：当动量增加时，相速度下降到，而群速度增加到，而波包与相位峰值两者以接近的速度一同移动；在此同时，波长的下降则无下限值。实验室中，这类高能电子的横向与纵向的同调宽度（波包大小）可比此处粒子大上好几个数量级。

当讨论到介质的折射性质而不是吸收性质，亦即关注焦点为折射率的实部，则常会提及“色散关系”—角频率与波数的函数关系。在粒子的情形，改由相对应的能量与动量的函数关系来描述。

“色散关系”一词源自于光学。让光穿过折射率不为常数的介质则有办法使得光速与波长相依；另外的方法是使用非均匀介质中的光，比如波导。在此情形下，波形会随着时间扩展开来，窄脉冲波会变成较宽的脉冲波。在这些材料中，${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}k}}$是重力造成的加速度。深水的常见定义为水深大于波长之半。在此情形下，相速度为

而群速度为

对一条理想弦而言，色散关系可写为

其中为弦的张力，为弦每单位长度的质量。

如同真空中的电磁波，理想弦为非色散介质，其相速度与群速度相等，并且与振动频率无关。

至于非理想弦则需考量到硬度的影响，色散关系变为

其中${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$是与弦有关的常数。

在固态物理领域，电子的色散关系占有重要的角色。晶体的周期性意味着：对一给定的动量存在有多种可能的能级，而有些则是不论什么样的动量都不可能会具有的能量。所有可能的能量与动量的组合即为一物质的能带结构。能带结构的性质定义了一物质是绝缘体、半导体，抑或是导体。

声子之于声波一如光子之于光波：其为携带波动能量的量子。声子的色散关系也是重要且非平凡的。许多系统都显示出声子存在于两个分离的能带。声子尚可分为光学声子支与声学声子支。

关于穿透式电子显微镜中的高能电子（例如200 keV），收敛束电子衍射（Convergent beam electron diffraction, CBED） 型态在高阶劳厄区（英语：Laue zone）（higher order Laue zone, HOLZ）谱线的能量相依性，允许研究者能对晶体三维色散表面的横断面做直接“成像”。这种动态效应（英语：Dynamical theory of diffraction）可用于晶格参数的准确测量、电子束能量，近期更应用在电子业上。

艾萨克·牛顿研究过棱镜的折射现象。然而牛顿却没有认出色散关系与不同材料的相关性；假使有认出，他则可能发明出消色差透镜。

水波的色散关系是由皮埃尔-西蒙·拉普拉斯于1776年研究得到。

在几篇举足轻重的论文中，色散关系与各种波及粒子散射理论（英语：Scattering theory）中的因果律被连系了起来，使得克拉莫-克若尼关系式（1926年－1927年间）的通则变得重要。