勒让德符号

✍ dations ◷ 2025-07-04 13:35:02 #二次剩余,数学符号,算术函数

勒让德符号,或二次特征,是一个由阿德里安-马里·勒让德在1798年尝试证明二次互反律时引入的函数。这个符号是许多高次剩余符号的原型;其它延伸和推广包括雅可比符号、克罗内克符号、希尔伯特符号,以及阿廷符号。

勒让德符号 ( a p ) {\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})} |))有下列定义:

如果(|) = 1, 便称为二次剩余(mod );如果(|) = −1,则 称为二次非剩余(mod p)。通常把零视为一种特殊的情况。

等于0、1、2、……时的周期数列(|),又称为勒让德数列,有时把{0,1,-1}的数值用{1,0,1}或{0,1,0}代替。

勒让德原先把他的符号定义为:

欧拉在之前证明了这个表达式是≡ 1 (mod ),如果是二次剩余(mod ),是≡ −1如果是二次非剩余;这个结论现在称为欧拉准则。

除了这个基本公式以外,还有许多其它(|)的表达式,它们当中有许多都在二次互反律的证明中有所使用。

高斯证明了如果 ζ = e 2 π i p {\displaystyle \zeta =e^{\frac {2\pi i}{p}}} 和互换。

艾森斯坦的一个证明是从以下等式开始:

把正弦函数用椭圆函数来代替,他也证明了三次和四次互反律。

斐波那契数1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ……由递推公式F1 = F2 = 1,Fn+1 = Fn + Fn-1定义。

如果是素数,则:

例如:

这个结果来自卢卡斯数列的理论,在素性测试中有所应用。参见沃尔-孙-孙素数。

勒让德符号有许多有用的性质,可以用来加速计算。它们包括:

这个性质称为二次互反律的第一补充。

这个性质称为二次互反律的第二补充。一般的二次互反律为:

参见二次互反律和二次互反律的证明。

以下是一些较小的的值的公式:

但一般直接把剩余和非剩余列出更简便:

勒让德符号(|)是一个狄利克雷特征(mod )。

以上的性质,包括二次互反律,可以用来计算任何勒让德符号。例如:

相关

  • 圣埃克絮佩里安托万·德·圣-埃克苏佩里(法语:Antoine de Saint-Exupéry;1900年6月29日-1944年7月31日),法国作家、飞行员,1900年6月29日生于法国里昂。1944年获得“法兰西烈士(法语:Mort pour l
  • 恒星系统恒星系统或恒星系是少数几颗恒星受到引力的拘束而互相环绕的系统,为数众多的恒星受到引力的约束一般称为“星团”或“星系”,但是概括来说都可以称为恒星系统。恒星系统有时也
  • 囊形扭江珧囊形扭江珧(学名:),又称袋状江珧蛤,为江珧科扭江珧属的动物。分布于印度西太平洋区以及中国大陆的广东、海南等地,属于暖水性种。其仅见于潮下带浅水区以及附着在岩石或珊瑚礁间。
  • 何俊 (道光进士)何俊(1797年-1858年),字晋孚,号亦民,嘉庆丁已(1797)年八月二十一日(卯)时生。今安徽省望江县吉水镇人。清朝政治人物、同进士出身。咸丰八年(1858)去世,享年六十二岁。道光二年,乡试中举;道
  • 英波协定英波协定(波斯语:قرارداد ۱۹۱۹;英语:Anglo-Persian Agreement)是一份涉及英国和波斯(伊朗)两国关于英伊石油公司钻井开发权的文件。这份“协定”在1919年8月由英国外交
  • 俄罗斯全民联盟俄罗斯全民联盟(俄语:Росси́йский общенаро́дный сою́з,ROS)是一个组建于1991年10月的俄罗斯民族主义政党。2001年并入人民联盟(英语:People's Unio
  • 澳门中华总商会附设的阅书报室澳门中华总商会附设的阅书报室(通称八角亭图书馆; 葡萄牙语:Biblioteca Pública da Associação Comercial de Macau),是位于澳门嘉思栏花园之图书馆,为澳门第一间中文图书馆和
  • 加里·多伯曼加里·多伯曼(英语:Gary Dauberman)是一名美国男编剧、制片人和导演。他较著名的是在招魂宇宙中担任数部电影的编剧,如《安娜贝尔》(2014年)、《安娜贝尔2:诞生》(2017年)和《修女》(2
  • 达奴达奴也译达努、达纳(Danu;现代爱尔兰语:Dana)是凯尔特神话中,神族图哈德达南所信仰的母神。在中世纪爱尔兰并没有文本直接提及达奴的名字,是学者通过所有格Danann(也说明Donand或Da
  • 董超 (东汉)董超(2世纪-219年),《庞德传集解》记作统超,东汉末期武将,庞德属下部队长。建安二十四年(219年),刘备大将关羽和曹操大将曹仁交战,曹操派遣他随于禁、庞德救援曹仁。关羽水淹七军,曹军