光滑函数

✍ dations ◷ 2025-07-11 20:37:52 #微分学,数学分析,光滑函数

光滑函数(smooth function)在数学中特指无穷可导的函数,也就是说,存在所有有限阶导数。若一函数是连续的,则称其为 C 0 {\displaystyle C^{0}} 函数;若函数存在导函数,且其导函数连续,则称为连续可导,记为 C 1 {\displaystyle C^{1}} 函数;若一函数 n {\displaystyle n} 阶可导,并且其 n {\displaystyle n} 阶导函数连续,则为 C n {\displaystyle C^{n}} 函数( n 1 {\displaystyle n\geq 1} )。而光滑函数是对所有 n {\displaystyle n} 都属于 C n {\displaystyle C^{n}} 函数,特称其为 C {\displaystyle C^{\infty }} 函数。

例如,指数函数显然是光滑的,因为指数函数的导数是指数函数本身。

构造在给定区间外为零但在区间内非零的光滑函数经常很有用。这是可以达到的;另一方面来讲,一个幂级数不可能有这样的属性。这表明光滑和解析函数之间存在着巨大的鸿沟;所以泰勒定理一般不可以应用到展开光滑函数。

要给出这样的函数的显式构造,我们从构造如下的函数开始

开始先对 x > 0 {\displaystyle x>0} 定义。我们不但有

而且对于所有多项式 P {\displaystyle P} ,有

因为负指数的指数增长起支配作用。这意味着对于 x < 0 {\displaystyle x<0} 设定 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 将给出一个光滑函数。像 f ( x ) f ( 1 x ) {\displaystyle f(x)f(1-x)} 这样的组合可以以任何给定区间为支撑构成;在这个特例中,该区间是 {\displaystyle } 。这样的函数从 0 {\displaystyle 0} 开始有特别慢的‘启动’。

参看非解析无穷可微函数。

用复分析的术语考虑,如下的函数

对于 z {\displaystyle z} 取任何实数值是光滑的,但在 z = 0 {\displaystyle z=0} 有一个本质奇点。也就是,在 z = 0 {\displaystyle z=0} 附近的行为不好;但恰巧只看实参数时无法让我们发现这一点。

给定闭支撑的光滑函数用于构造光滑单位分解(参看拓扑学术语单位分解条目);这在光滑流形的研究中有基本的作用,例如在证明黎曼度量可以从他们的局部存在性全局的定义时。一个简单的情形是实直线上的一个突起函数,一个光滑函数 f {\displaystyle f} 在区间 {\displaystyle } 外为 0 {\displaystyle 0} ,并且使得

给定一些直线上的互相重叠的区间,可以在每个区间上构造突起函数,在半无限区间( , c ] {\displaystyle -\infty ,c]} [ d , + {\displaystyle [d,+\infty } )上也可以,以覆盖整条直线,使得函数的和总是 1 {\displaystyle 1}

根据前面所说,单位分解不适用于全纯函数;它们的对于存在性和解析连续的不同行为是层论的根源之一。作为对比,光滑函数的层趋向于不包含很多拓扑信息。

光滑流形之间的光滑映射可以用坐标图的方式来定义。因为函数的光滑性的概念和特定的坐标图的选取无关。这样的映射有一个一阶导数,定义在切向量上;它给出了在切丛的级别上的对应纤维间的线性映射。

在需要讨论所有无穷可微函数的集合时,以及该空间的元素在微分和积分、求和、取极限时的行为时,人们发现所有光滑函数的空间不是一个合适的选择,因为它在这些操作下不是完备和闭合的。对于这个情况的一个正确处理,我们可以采用索伯列夫空间(Sobolev space)的概念。

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