素数倒数幻方

✍ dations ◷ 2025-10-11 15:25:27 #趣味数学,幻方

素数倒数幻方（prime reciprocal magic square）是指用素数倒数及其倍数的循环小数各位数组成的幻方。有些素数的倒数则可以形成对角线和也满足条件的幻方。

考虑在十进制下的1/7，其小数为循环小数1/7 = 0·142857142857142857...，若再考虑其倍数，会看到这六个数字的循环排列（英语：cyclic permutation）：

1/7 = 0·1 4 2 8 5 7...2/7 = 0·2 8 5 7 1 4...3/7 = 0·4 2 8 5 7 1...4/7 = 0·5 7 1 4 2 8...5/7 = 0·7 1 4 2 8 5...6/7 = 0·8 5 7 1 4 2...

若用上述数字形成方阵，每一列的和是1+4+2+8+5+7，即为27，每一行的和也是27，若不考虑对角线，因此可以形成一个幻方：

1 4 2 8 5 72 8 5 7 1 44 2 8 5 7 15 7 1 4 2 87 1 4 2 8 58 5 7 1 4 2

不过其对角线不是27。

考虑1/19的倍数，下一行是上一行的二倍，而小数位数似乎右移一位：

01/19 = 0.052631578,94736842102/19 = 0.1052631578,9473684204/19 = 0.21052631578,947368408/19 = 0.421052631578,94736816/19 = 0.8421052631578,94736

分子乘以2会让小数的位数右移一位：

在1/19形成的方阵中，其最大周期为18，每一行及每一列的和是81，而且对角线也是81，完全符合幻方的条件：

01/19 = 0·0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1...02/19 = 0·1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2...03/19 = 0·1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3...04/19 = 0·2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4...05/19 = 0·2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5...06/19 = 0·3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6...07/19 = 0·3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7...08/19 = 0·4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8...09/19 = 0·4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9...10/19 = 0·5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0...11/19 = 0·5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1...12/19 = 0·6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2...13/19 = 0·6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3...14/19 = 0·7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4...15/19 = 0·7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5...16/19 = 0·8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6...17/19 = 0·8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7...18/19 = 0·9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8...

在各素数在不同进制下，也可能会有相同的现象，以下是列表，列出素数、进制以及幻方和　（(进制-1) 乘 (素数-1) / 2：

Rademacher, H. and Toeplitz, O. The Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 158–160, 1957.

Weisstein, Eric W. "Midy's Theorem." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/MidysTheorem.html

相关

囊肿性纤维化囊肿性纤维化（英语：cystic fibrosis，缩写作 CF），亦称为囊性纤维化、囊肿性纤维变性、囊肿纤维症、纤维性囊肿或囊纤维变性，是一种常见的遗传疾病，此病症最常影响肺脏，但也常发生于胰
布地奈德布地奈德（Budesonide），常见商品名Pulmicort，是一种肾上腺皮质激素类药。本品可以制成定量吸入剂（英语：metered-dose inhaler）、药丸、鼻内喷剂（英语：nasal spray），以及肛门塞剂等等。吸
IGN国家地理林业信息研究所（法语：Institut national de l’information géographique et forestière）是法国的一个公共管理机构，负责管理法国以及其海外属地的地理资讯。在2012年
第二次英荷战争第二次英荷战争（荷兰语：Tweede Engels-Nederlandse Oorlog；英语：Second Anglo-Dutch War，1665年－1667年）是四次英荷战争中的第二次，是英格兰王国以及荷兰共和国爆发的海战，战争的起因
第一圣殿所罗门圣殿（希伯来语：בית המקדש‎，拉丁化译音：Beit HaMikdash），通常指第一圣殿。在《希伯来圣经》的记载中，所罗门圣殿是居住在耶路撒冷的以色列子孙们信仰的古老宗教的第
科田法科田法，是高丽末期最后一次田制改革，也是朝鲜王朝早期田制。高丽后期田柴科制破坏，大量官地成为私地。后来李成桂改革地制，把京城最好的地方配给自己手下，使他们有取代高丽的能力
西雅图水手西雅图水手（Seattle Mariners），是美国职棒大联盟中，隶属于美国联盟的棒球队伍之一，成立于1977年。主场位于华盛顿州的西雅图，为T-Mobile球场（T-Mobile Park），在1999年开始启用。在美
西属佛罗里达旗帜西属佛罗里达（西班牙语：La Florida），为西班牙帝国在北美佛罗里达地区的殖民地，为新西班牙总督辖区的一部分，领地包含今美国东南部分地区存续时间为1513–1763，1784–1821。1763
蔚州关帝庙蔚州关帝庙，位于中国河北省张家口市城南关，为张家口市蔚县的一个省级文物保护单位，类型为古建筑，公布时间为1993年7月15日。蔚州关帝庙的历史年代为明代。
尹昌范尹昌范（韩语：윤창범），韩国电视剧导演。