倒频谱

✍ dations ◷ 2025-07-09 11:14:35 #信号处理

倒频谱(cepstrum),顾名思义,就是将频谱(spectrum)的英文前四个字母反过来写。倒频谱是为了某些时候,为了计算方便,将原来信号的频谱先转成类似分贝的单位,再作逆傅里叶变换,把它视为一种新的信号做处理。倒频谱有复数倒频谱,及实数倒频谱。

倒频谱被定义在1963的论文(Bogert等)。定义如下:

复数倒频谱拥有频谱大小跟相位的信息,实数倒频谱只有频谱大小的信息,各有各的不同应用。

x ^ = 1 2 1 2 X ^ ( F ) e j 2 π F d F {\displaystyle {\widehat {x}}\left=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}{\widehat {X}}\left(F\right)e^{j{2\pi }F}dF}
其中 X ^ = log | X ( F ) | + j arg {\displaystyle {\widehat {X}}\left=\log |X(F)|+j\arg}
可能遭遇的问题
1. log 0 = {\displaystyle \log 0=-\infty }
2. arg ] {\displaystyle \arg]} 有无限多的解
当输入是实数时,因为 log | X ( F ) | {\displaystyle \log |X(F)|} 偶对称, arg {\displaystyle \arg} 奇对称,所以复数倒频谱的值为实数

C = 1 2 1 2 log | X ( F ) | e j 2 π F n d F {\displaystyle C\left=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}\log |X(F)|e^{j{2\pi }Fn}dF}
可能遭遇的问题
1. log 0 = {\displaystyle \log 0=-\infty }

频谱图上的独立变数是频率,而倒频谱图上的独立变数为倒频率(quefrency),倒频率是一种时间的度量单位。举个例子,声音信号采样速率等于44100赫兹,在倒频谱上有个很大的值在倒频率等于100,代表实际上在44100/100=441赫兹有很大的值,这值出现在倒频谱上因为频谱上周期性出现,而频谱上出现的周期与倒频谱很大的值出现的位置有关。

滤波器(filter)常使用在频谱上,用来保存或删除我们所要或不要的信息,经过上面的许多讨论,不难猜到,倒滤波器(lifter)就是在倒频谱上所使用的滤波器。低通的倒滤波器跟低通滤波器有点类似,它可以借由在倒频谱上乘以一个window系数,使倒频谱上的高倒频率被压抑,如此依来,当信号转回时域空间时会变成一个较平滑的信号。

x ^ = 1 2 1 2 X ^ ( F ) e j 2 π F d F {\displaystyle {\widehat {x}}\left=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}{\widehat {X}}\left(F\right)e^{j{2\pi }F}dF}
问题: X ^ ( F ) {\displaystyle {\widehat {X}}\left(F\right)} 可能会无限大, 且对于arg(x)有无限多个解

先对信号做Z变换, 并整理一下系数, 让他变成下面的形式
X ( Z ) = A Z r k = 1 m i ( 1 a k Z 1 ) k = 1 m 0 ( 1 b k Z ) k = 1 P i ( 1 c k Z 1 ) k = 1 P 0 ( 1 d k Z ) {\displaystyle X\left(Z\right)={\cfrac {A{Z^{r}}\prod _{k=1}^{m_{i}}(1-{a_{k}}{Z^{-1}})\prod _{k=1}^{m_{0}}(1-{b_{k}}Z)}{\prod _{k=1}^{P_{i}}(1-{c_{k}}{Z^{-1}})\prod _{k=1}^{P_{0}}(1-{d_{k}}Z)}}}
其中 | a k | , | b k | , | c k | , | d k | 1 {\displaystyle \left|a_{k}\right|,\left|b_{k}\right|,\left|c_{k}\right|,\left|d_{k}\right|\leq 1}

分子:
第一项A是系数
第二项 Z r {\displaystyle Z^{r}} 是延迟
第三项是位于单位圆内的零点
第四项是位于单位圆外的零点

分母:
第一项是位于单位圆内的极点
第二项是位于单位圆外的极点

X ( Z ) {\displaystyle X\left(Z\right)} 取log变成 X ^ ( Z ) {\displaystyle {\widehat {X}}\left(Z\right)}
X ^ ( Z ) = l o g X ( Z ) = log A + r log Z + k = 1 m i log ( 1 a k Z 1 ) + k = 1 m 0 log ( 1 b k Z ) k = 1 P i log ( 1 c k Z 1 ) k = 1 P 0 log ( 1 d k Z ) {\displaystyle {\widehat {X}}\left(Z\right)=logX\left(Z\right)=\log A+r\log Z+\sum _{k=1}^{m_{i}}\log(1-{a_{k}}{Z^{-1}})+\sum _{k=1}^{m_{0}}\log(1-{b_{k}}Z)-\sum _{k=1}^{P_{i}}\log(1-{c_{k}}{Z^{-1}})-\sum _{k=1}^{P_{0}}\log(1-{d_{k}}Z)}
假设r=0, 因为这只是延迟, 并不会破坏波形
根据Z变换所得到的系数, 我们可以利用泰勒展开得到Z的反变换
x ^ = { log A if  n = 0 k = 1 m i a k n n + k = 1 P i c k n n if  n > 0 k = 1 m 0 b k n n k = 1 P 0 d k n n if  n < 0 {\displaystyle {\widehat {x}}\left={\begin{cases}\log A&{\mbox{if }}n=0\\-\sum _{k=1}^{m_{i}}{\cfrac {{a_{k}}^{n}}{n}}+\sum _{k=1}^{P_{i}}{\cfrac {{c_{k}}^{n}}{n}}&{\mbox{if }}n>0\\\sum _{k=1}^{m_{0}}{\cfrac {{b_{k}}^{-n}}{n}}-\sum _{k=1}^{P_{0}}{\cfrac {{d_{k}}^{-n}}{n}}&{\mbox{if }}n<0\end{cases}}}

注意事项
1. x ^ {\displaystyle {\widehat {x}}\left} 总是IIR(无限冲激响应)
2.对于FIR(有限冲激响应)的情况, c k = 0 , d k = 0 {\displaystyle c_{k}=0,d_{k}=0}

Z X ^ ( Z ) = Z X ( Z ) X ( Z ) {\displaystyle Z\cdot {\widehat {X}}'\left(Z\right)=Z\cdot {\cfrac {{X}'\left(Z\right)}{{X}\left(Z\right)}}}
Z X ( Z ) = Z X ^ ( Z ) X ( Z ) {\displaystyle Z{X}'\left(Z\right)=Z{\widehat {X}}'\left(Z\right)\cdot {X}\left(Z\right)}
对其做Z的反变换
n x = k = k x ^ x {\displaystyle nx=\sum _{k=-\infty }^{\infty }k{\widehat {x}}\leftx}

x = k = k n x ^ x f o r   n 0 {\displaystyle x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {k}{n}}{\widehat {x}}\leftx\quad for\ n\neq 0}

分别对于x的四种不同的状况做延伸
1.对于x是因果(causal)和最小相位(minimum phase) i.e. x = x ^ = 0 , n < 0 {\displaystyle x={\widehat {x}}\left=0,n<0}
对于 x = k = k n x ^ x f o r   n 0 {\displaystyle x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {k}{n}}{\widehat {x}}\leftx\quad for\ n\neq 0}
可得出
x = k = 0 k n x ^ x f o r   n > 0 {\displaystyle x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k}{n}}{\widehat {x}}\leftx\quad for\ n>0}

x = x ^ x + k = 0 n 1 k n x ^ x {\displaystyle x={\widehat {x}}\leftx+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {k}{n}}{\widehat {x}}\leftx}
2.对于x是最小相位(minimum phase)
x ^ = { 0 if  n < 0 x x k = 0 n 1 k n x ^ x x

相关

  • 丙泊酚异丙酚(英语:Propofol),又名“丙泊酚”,商品名Diprivan及其他。本品为一种短效静脉注射麻醉药,可用于全身麻醉的诱导及维持、成人机械呼吸器(英语:mechanical ventilation)或手术的镇
  • 乐器乐器,泛指可以发声演奏音乐的工具。根据构造或发声原理,乐器可以细分作多个分类:气鸣乐器、弦鸣乐器、膜鸣乐器和体鸣乐器。打击乐器包括体鸣和膜鸣两大类。不同的键盘乐器虽然
  • 强制上环强制上环是中国一些地方对产后妇女强制实施放置宫内节育器(上环)手术的计划生育政策。该政策被认为是一种对妇女人权的侵害。宫内节育器是一种避孕器械,通过刺激子宫内膜产炎症
  • 铜(III)酸盐铜(III)酸盐是一类铜的含氧酸盐。在氧气中加热过氧化钾与氧化铜可制得铜(III)酸钾(KCuO2),这是一种浅蓝色反磁性的物质,高于500℃时分解。氢氧化铜与浓氢氧化钠的混合溶液与次溴
  • 宣福礼宣福礼(拉丁语:Beatificatio;英语:Beatification,字根来自拉丁语:beatus,受祝福的),又称为宣福、列真福品、列福式,是天主教会追封已过世人的一种仪式,用意在于尊崇其德行,认定其信仰足
  • 福田雅太郎福田雅太郎(日语:ふくだ まさたろう,1866年7月7日-1932年6月1日)出生于日本长崎县大村市,排行老二,父亲福田市兵卫为大村藩士。日俄战争时担任第1军少佐参谋(作战主任)。1921年5月4日
  • 布萨语布萨语(Busa,又称Busan、Uriai,英语:Busa language),也称为Uriai语,是巴布亚新几内亚西北部的三个小村庄使用的语言。根据巴布亚新几内亚2000年人口普查的数据,共有244人会说布萨语
  • 通过仪礼通过仪礼(英语:Rite of passage)是表示一个人从生命中的一个阶段进入另一个阶段的过程,它包括了出生、成年、结婚和死亡的四个阶段。通过仪礼与中华文化的四礼之间互有重叠之处,
  • 绿地诗社绿地诗社是台湾现代诗社,发行《绿地》诗刊。该社于1975年12月25日成立,主要成员都是南台湾的诗人,有傅文正、陌上尘、乔洪、履彊、蔡忠修、谢武彰、艾灵、纪海珍、雪柔、庄渝、
  • 魏长城遗址魏长城是中国战国时期魏国所兴建的长城。始建于魏惠王十九年(前358年),魏惠王二十五年(前352年)时在原长城的基础上继续扩建。此长城曾对秦的进攻起到重要的防御作用。秦国灭亡魏