西罗定理

在数学里，尤其是在群论内，西罗（Sylow）定理（以彼得·卢德维格·梅德尔·西罗来命名，或称西洛定理）为一系列定理的总称。这些定理关于给定的有限群包含的固定阶子群的数目给出了详细的信息。这些定理在有限群论中起到了基础的作用，并且在有限单群分类中有重要应用。西罗定理假设了拉格朗日定理部分反面的情况。拉格朗日定理叙述了若是一个有限群的子群，则的阶会整除的阶。西洛定理则保证，对于之目的某些约数，会有对应此些约数的子群存在着，且会给出有关此类子群之数目的相关信息。

设是一个素数；则可定义的西罗-子群（或者称为-西罗子群），其为的-子群中最大的一个(即其为的p-群，且不为其他的-子群的真子群)。

西罗-子群所组成的集合记为Syl()。Syl()之中群的差异在群论的讨论中是可以忽略的。更明确地说，在Syl()内的每个群彼此间同构；这性质也同时回过头来决定了的其他性质。

以下定理由挪威数学家彼得·卢德维格·梅德尔·西罗首次于1872年提出并证明，刊载于《Mathematische Annalen》中。

给定一有限群，则可以将||可以写成 ${\displaystyle \cdot <!--\; \cdot \; -->}$ 的形式

其中||表示的阶，为正整数，且不为的素因数。

定理1：存在一個階為的子群H，使得為G的西羅-子群。

下面的推论比起定理1较为狭义

推論：對任意有限群，及任意||的質因數，則在之中，存在一個階為的元素。

上述推论又称作柯西定理，由柯西首次证明

定理2：若是的子群，為的p-西羅子群，其中||=， 為正整數，則存在一個中的元素使得H為的子群。

从这可以推论出，所有的西罗-子群彼此共轭（且因共轭可得到同构），即若、皆为的西罗-子群，则存在一个于内的元素，使得−1 = 。

定理3：設np為G的西羅p-子群的数量且有${\displaystyle n_p\equiv <!--\; \equiv \; -->1(modp)and{n}_p|s}$-子群都会有相同的目；相反地，若一个子群有目，则其为一个西罗-子群，且会同构于每个其他的西罗-子群。基于素数最大次方的条件，若为的任一个-子群，则会为一个有目之-子群的子群。
定理3的一个很重要结论为=1的条件会等价于描述此一的西罗-子群是一个正规子群。（存在没有正规西罗子群但有正规子群的群，如4。）
西罗定理有个对无限群的类比。可定义一个于无限群中的西罗-子群为一个在所有群内之-子群的内含关系内为极大的-子群。因佐恩引理，这种子群存在。
定理：若为一个的西罗-子群，且 = |Cl()|为有限的，则每一个西罗-子群都会共轭于，且 = 1 mod ，其中Cl()表示为的共轭类。
设为一个其目为15 = 3 · 5的群，则3必须整除5，且3=1 mod 3。其中唯一满足上述限制的值只有1；因此，只存在一个其目为3的子群，且其必须为正规子群（因为其没有其他的共轭）。相似地，5会整除3，且5=1 mod 5；因此亦只有一个其目为5的正规子群。当3和5为互素时，此两个子群的交集为平凡群{e}，所以必须要是个循环群。因此，只存在一个其目为15的群（以同构来分），标记为Z/15Z。
举另一个更复杂的例子来说，可证明不存在一个其目为350的简单群。若|| = 350 = 2 · 52 · 7，则5必须整除14=2·7，且5 = 1 mod 5。因此，5=1（因为6和11都不会整除14），而因此必然会有一个其目为52的正规子群，故不可能为简单群。
西罗定理的证明利用了群作用的许多概念。群会以许多种方式作用在其自身或其-子群上，而此类的每个作用则可以被利用来证明西罗定理的其中一个定理。下列的证明是基于1959年H.Wielandt所发表之整合的论述。在下面的论述中，用|来表示“a会整除b”，而 ${\displaystyle \nmid <!--\; \nmid \; -->}$则用来表示“a不可整除b”。
定理1：一个其目||可以被一素数次方整除的有限群会有一个其目为的子群。
证明：设||=，  ${\displaystyle \mid <!--\; \mid \; -->}$+1  ${\displaystyle \nmid <!--\; \nmid \; -->}$的元素个数为之子集所组成的集合，可知|Ω| = ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{p^{k}m}{p^k})}$+1  ${\displaystyle \nmid <!--\; \nmid \; -->}$的选定。令以左乘积作用于Ω上，则基于之选定，会存在一个于Ω内的，其具有一个会使+1 ${\displaystyle \nmid <!--\; \nmid \; -->}$。这里会有|θ| = || = 的关系，其中标示为集合的隐定子子群，因此 | ||，故 ≤ ||。注意在的作用下之于内的两个元素和可能为不同个的，所以|| ≥ ||。由上述 ≤ ||和|| ≥ ||两个结果，故知|| = 。然后，即为此一想要的群。
引论: 设为一个有限-群，将作用于一个有限集合Ω上，及令Ω0为在的作用下为固定之Ω内的点所组成之集合。然后可知|Ω| ≡ |Ω0| mod 。
证明：将Ω写成在下之轨道此种不相交集合的并集。每一个在Ω内的元素若在的作用下不固定的话，其将会在其目为||/||之轨道上（其中为隐定子），此目依题目的假设会是的倍数（不可能为1，因为其目为1的轨道即为在的作用下固定的点）。因此结论立即就出来了。
定理2：若是的子群且||=，以及为的p-西罗子群，则存在一个在内的元素会使得H为的子群。特别地是，所有的西罗-子群都会共轭（且因此同构）于另一个，即若和为的西罗-子群，则存在一个内的元素会使得−1 = 。
证明：设Ω为内的左陪集所组成的集合，及以左乘积作用在Ω上。应用于Ω上的引理，可知|Ω0| ≡ |Ω| =  mod 。由定义可知 ${\displaystyle \nmid <!--\; \nmid \; -->}$ : ]，所以 ${\displaystyle \nmid <!--\; \nmid \; -->}$ ∈ Ω0。因此对每个于内的元素， = ，故−1 = 且−1 ∈ ，且因此 ∈ −1，故会包含于某些内元素之−1内。若为一个西罗-子群，则|| = || = |−1|，因此对某些在内的， = −1。
定理3：设为一有限群的任一西罗-子群的目，则 | ||/且 ≡ 1 mod 。
证明：依定理2， = ，其中为任一个子群且()为于内的正规化子，可知此数为||/的约数。令Ω为所有的西罗-子群所组成的集合，且以共轭作用于Ω上。设 ∈ Ω0并可知对所有 ∈ ， = −1，因此 ⊆ ()。依定理2，和会于()内共轭，尤其是会在()为正规，故可知 = 。由上可知Ω0 = {}，因此由引理可知|Ω| ≡ |Ω0| = 1 mod 。
由一个给定的群中得出一个西罗子群是计算群论中一个很重要的问题。在置换群里，已由William Kantor证明出一个西罗-子群可以在输入数量的多项式时间内被找到。