群的直和

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G₂ F₄E₆ E₇E₈
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

在数学中，群 叫做子群的集合 {} 的直和，如果

如果 是子群 和 的直和，则我们写为 = + ；如果 是子群集合 {} 的直和，我们经常写为 = ∑。不严格的说，直和同构于子群的弱直积。

在抽象代数中，这种构造方法可以推广为向量空间、模和其他结构的直和；详情参见条目直和。

这个符号是符合交换律的；所以在两个子群的直和的情况下， = + = + 。它还是符合结合律的，在如果 = + 并且 = + 则 = + ( + ) = + + 的意义上。

可以表达为非平凡子群的直和的群被叫做“可分解”的；否则叫做“不可分解”的。

如果 = + ，则可以证明:

上述断言可以推广到 = ∑ 的情况，这里的 {_i} 是子群的有限集合。

注意类似于直积，这里的每个 可以唯一的表达为

因为 * = * 对于所有 ≠ ，可推出在直和中的元素的乘积同构于对应的在直积中的元素的乘积；因此对于子群的有限集合，∑ 同构于直积 ×{}。

直和对于群不是唯一的；例如在克莱因四元群 ₄ = ₂ × ₂ 中，我们有

但是，Remak-Krull-Schmidt定理声称给定有限群 = ∑ = ∑，这里的每个 和每个 都是不平凡的并且不可分解的，则两直和分别涉及到的子群在重新排序后同构意义下是等价的。

Remak-Krull-Schmidt 定理对无限群无效，所以在无限 = + = + 的情况下，即使在所有子群都是非平凡的并且不可分解的，我们不能假定 同构于要么 要么 。

如果我们希望在 是子群的无限(可能不可数)集合的直和的情况下描述上述性质，我们需要更加的小心。

如果 是群的集合的笛卡尔积 ∏{} 的元素，设 是在乘积中的 的第 个元素。 群的集合 {} 的外直和(写为 ∑{}) 是 ∏{} 的子集，这里对于每个 ∑{} 的元素 ， 是单位元 ${\displaystyle e_{H_i}}$ (等价的说只有有限个 不是单位元)。在外直和中的群运算是逐点乘法，如在平常直积中那样。

应当容易的明白这个子集确实形成了群；对于群 的无限集合，外直和同一于直积。

那么如果 = ∑，则 同构于 ∑{}。因此在某种意义上，直和是“内部”外直和。我们有了对于每个 中的元素 ，有一个唯一有限集合 和唯一的 { ∈  : ∈ } 使得 = ∏ { : ∈ }。