射流

数学上，射流（jet）是一个操作，它取一个可微函数并在其定义域的每一点产生一个多项式，也就是的截尾泰勒多项式。虽然这是一个射流的定义，射流理论将这些多项式作为抽象多项式而不是多项式函数。

在给出一个射流的严格定义之前，有必要查看一些特殊情况。

设${\displaystyle f:\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$有至少阶导数。那么根据泰勒定理，

其中

那么在点${\displaystyle x_0}$-射流定义为多项式

射流通常视为变量的抽象多项式，而不是一个该变量实际的多项式函数。换言之，是一个不定变量，这使得我们可以在射流上施行各种代数操作。实际上，射流是从基点${\displaystyle x_0}$次多项式。这标志着射流和截尾泰勒级数的概念上的区别：通常泰勒级数被视为函数式地依赖于它的变量，而非其基点。另一方面，射流将泰勒级数的代数属性和它们的函数属性分离开来。我们将在本条目后面讨论该区别的原因和应用。

假设${\displaystyle f:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^m}$阶导数。本例中，推广的泰勒定理断言

这个情况下，的-射流定义为多项式

射流可以加上两种基本的代数结构。第一个是乘积结构，虽然这最后是最不重要的。第二个是射流的复合结构。

若${\displaystyle f,g:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$，因为可以将射流理解为形式化多项式。这个乘积就是上的普通多项式的乘积，以${\displaystyle z^{k+1}}$(0)=0和(0)=0，则${\displaystyle f\circ <!--\; \circ \; -->g:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}}$定义为${\displaystyle J_0^{k}f\circ <!--\; \circ \; -->J_0^{k}g=J_0^k(f\circ <!--\; \circ \; -->g).}$-射流的复合不过就是多项式的复合，以次数${\displaystyle >k}$

且

本节集中描述在一点的一个函数的射流的两种不同的严格定义，之后讨论泰勒定理。这些定义在给出在两个流形之间的射流的内蕴定义中是很有用的。

如下的定义采用了数学分析中定义射流和射流空间的思想。它可以推广到巴拿赫空间之间的光滑函数、实或复域之间的解析函数、p进分析、或是其它的分析领域。

令${\displaystyle C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m)}$为非负整数，并令为${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$和等价如果和在有相同的值，并且所有它们的偏导数等价到阶，若和在数值相同，并且它们直到阶的偏导数全部相同。

阶射流空间${\displaystyle C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m)}$定义为${\displaystyle E_p^k}$阶射流定义为在${\displaystyle J_p^k({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m)}$的芽的向量空间。令${\displaystyle {\mathfrak{m}}_p}$为零的函数的理想。(这是局部环 ${\displaystyle C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}({\mathbb{R}}_p^n,{\mathbb{R}}^m)}$直到阶导数全部为零的函数的芽组成。现在我们可以定义点的射流空间为

若${\displaystyle f:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^m}$在的阶射流为${\displaystyle J_p^k({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m)}$()=的函数的射流组成的子空间记为

若和是两个光滑流形，我们如何定义函数${\displaystyle f:M\to <!--\; \to \; -->N}$和上的局部坐标来定义。这个方法的缺点是流形不能在这种方式下以等变的形式来定义。射流不像张量那样变换。实际上，两个流形间的函数的射流属于一个射流丛。

本节先引入从实直线到流形的函数的射流的概念。然后，证明这样的射流构成一个纤维丛，和切丛类似，它也是一个射流丛的一个伴随丛。接下来，讨论定义两个光滑流形间的函数的射流的问题。在整节中，我们全部采用分析方法。虽然代数几何方法在很多应用中更合适，因其过于微妙不便于在此系统论述。细节请参看射流 (代数几何)。

假设为一个光滑流形，为其中一点。我们来定义穿过的曲线的射流，我们所指的曲线也即使得(0)=的光滑函数${\displaystyle f:\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->M}$和为一对穿过的曲线。我们称和在为阶等价，如果存在的某个邻域，使得对于每个光滑函数${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:U\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$的曲线的阶相切。

现在我们定义阶射流空间${\displaystyle J_0^k(\mathbb{R},M{)}_p}$的曲线构成的等价类。曲线穿过的阶射流定义为所属的等价类，记为${\displaystyle J^{k}f}$在中变化，${\displaystyle J_0^k(\mathbb{R},M{)}_p}$上的一个纤维丛:阶切丛，经常记为 （虽然这个记号有时会导致混淆）。在=1时，一阶切丛就是通常的切丛：1=。

要证明实际上构成一个纤维丛，我们需要查看一下${\displaystyle J_0^k(\mathbb{R},M{)}_p}$)= (,...,)为在的邻域中的一个局部坐标系。稍微滥用记号一下，我们可以视()为一个局部微分同胚${\displaystyle (x^i):M\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n}$穿过的两条曲线和以${\displaystyle E_p^k}$的某个邻域${\displaystyle U\subset <!--\; \subset \; -->V}$确实有每个坐标邻域中的局部平凡化。至此，要证明这个表面上的纤维丛是真正的纤维丛，只需证明它在坐标变换下有非奇异的变换函数。令${\displaystyle (y^i):M\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n}$上的局部坐标中的泰勒级数来表达一个曲线的射流。

现在可以定义从流形到流形的函数的射流了。

设和为两个光滑流形。令为一点。考虑由定义在的某个邻域中的光滑映射${\displaystyle f:M\to <!--\; \to \; -->N}$和称为的，若对于每条穿过的曲线γ（按此处常规，这表示一个使得${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(0)=p}$的某个领域上有${\displaystyle J_0^k(f\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})=J_0^k(g\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})}$不需要有代数结构，${\displaystyle J_p^k(M,N)}$附近的光滑函数，则我们定义在的阶射流${\displaystyle J_p^{k}f}$以${\displaystyle E_p^k}$为流形上的有限维光滑向量丛，其投影为${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:E\to <!--\; \to \; -->M}$的截面为满足${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->s}$上的恒等自同构的光滑函数${\displaystyle s:M\to <!--\; \to \; -->E}$在的一个邻域上的射流就是从到的光滑函数在点的射流。

这些在点的射流的空间记为${\displaystyle J_p^k(M,E)}$的截面的射流有继承自截面本身的向量空间结构的向量空间结构。随着在上变化，射流空间${\displaystyle J_p^k(M,E)}$上的丛，也就是的阶射流丛，记为()。

参看微分算子#坐标无关表述。