完全性 (统计学)

在统计学中， 完全性，又称完备性，是统计量的一个性质。 从本质上讲，它确保不同的参数值对应的分布是不同的。一个具有完全性的统计量称为完全统计量。

考虑一个随机变量 ${\displaystyle X}$ ，其概率分布 ${\displaystyle P_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}$ 以 ${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$ 为参数。称一个统计量 ${\displaystyle s}$ 是完全的，若对任意可测函数 ${\displaystyle g}$，

若对上述函数 ${\displaystyle g}$ 加上有界的条件，则称该统计量为有界完全的。

若${\displaystyle X_1,X_2,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n}$是来自参数为${\displaystyle p}$的伯努利分布的独立随机样本，其中${\displaystyle p\in <!--\; \in \; -->(0,1)}$。统计量${\displaystyle T=\underset{i=1}{\overset{b}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{X}_i}$是${\displaystyle p}$的完全统计量。注意到${\displaystyle T}$服从参数为${\displaystyle n}$和${\displaystyle p}$的二项分布。若有某个${\displaystyle g}$，使得${\displaystyle E_p(g(T))=0}$对${\displaystyle p\in <!--\; \in \; -->(0,1)}$都成立，则

${\displaystyle 0=\underset{i=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})p^i(1-<!--\; -\; -->p{)}^{n-<!--\; -\; -->i}g(i)=(1-<!--\; -\; -->p{)}^n\underset{i=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}g(i)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}){\left(\frac{p}{1-<!--\; -\; -->p}\right)}^i,p\in <!--\; \in \; -->(0,1).}$

令${\displaystyle r=p/(1-<!--\; -\; -->p)\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}}$，则多项式${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}g(i)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})r^i}$在${\displaystyle \mathbb{R}}$上恒为0。可知其每一项系数都为0，进而得到${\displaystyle g=0}$。由定义，${\displaystyle T=\underset{i=1}{\overset{b}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{X}_i}$是${\displaystyle p}$的完全统计量。

有界完全性出现在巴苏定理中， 它指出任何有界完全且充分的统计量与任何辅助统计量独立。

有界完全性也出现在Bahadur定理中。 定理指出，当至少存在一个最小充分统计量时，如果一个统计量是充分的并且有界完全的，则它是一个最小充分统计量。