完全性 (统计学)

✍ dations ◷ 2025-04-02 08:29:26 #统计理论

在统计学中，完全性，又称完备性，是统计量的一个性质。从本质上讲，它确保不同的参数值对应的分布是不同的。一个具有完全性的统计量称为完全统计量。

考虑一个随机变量 $X {\displaystyle X}$ $X$ ，其概率分布 $P_{\theta }$ $P_{\theta }$ 以 $\theta$ $\theta$ 为参数。称一个统计量 $s {\displaystyle s}$ $s$ 是完全的，若对任意可测函数 $g {\displaystyle g}$ $g$ ，

若对上述函数 $g {\displaystyle g}$ $g$ 加上有界的条件，则称该统计量为有界完全的。

若 $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ 是来自参数为 $p {\displaystyle p}$ $p$ 的伯努利分布的独立随机样本，其中 $p\in (0,1)$ $p\in (0,1)$ 。统计量 $T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}$ $T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}$ 是 $p {\displaystyle p}$ $p$ 的完全统计量。注意到 $T {\displaystyle T}$ $T$ 服从参数为 $n {\displaystyle n}$ $n$ 和 $p {\displaystyle p}$ $p$ 的二项分布。若有某个 $g {\displaystyle g}$ $g$ ，使得 $E_{p}(g(T))=0$ $E_{p}(g(T))=0$ 对 $p\in (0,1)$ $p\in (0,1)$ 都成立，则

$0=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}g(i)=(1-p)^{n}\sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{i},p\in (0,1).$ $0=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}g(i)=(1-p)^{n}\sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{i},p\in (0,1).$

令 $r=p/(1-p)\in \mathbb {R}$ $r=p/(1-p)\in \mathbb {R}$ ，则多项式 $\sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}r^{i}$ $\sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}r^{i}$ 在 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 上恒为0。可知其每一项系数都为0，进而得到 $g=0$ $g=0$ 。由定义， $T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}$ $T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}$ 是 $p {\displaystyle p}$ $p$ 的完全统计量。

有界完全性出现在巴苏定理中，它指出任何有界完全且充分的统计量与任何辅助统计量独立。

有界完全性也出现在Bahadur定理中。定理指出，当至少存在一个最小充分统计量时，如果一个统计量是充分的并且有界完全的，则它是一个最小充分统计量。

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