完全性 (统计学)

✍ dations ◷ 2025-08-02 19:34:00 #统计理论

在统计学中, 完全性,又称完备性,是统计量的一个性质。 从本质上讲,它确保不同的参数值对应的分布是不同的。一个具有完全性的统计量称为完全统计量。

考虑一个随机变量 X {\displaystyle X} ,其概率分布 P θ {\displaystyle P_{\theta }} θ {\displaystyle \theta } 为参数。称一个统计量 s {\displaystyle s} 是完全的,若对任意可测函数 g {\displaystyle g}

若对上述函数 g {\displaystyle g} 加上有界的条件,则称该统计量为有界完全的。

X 1 , X 2 , , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}} 是来自参数为 p {\displaystyle p} 的伯努利分布的独立随机样本,其中 p ( 0 , 1 ) {\displaystyle p\in (0,1)} 。统计量 T = i = 1 b X i {\displaystyle T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}} p {\displaystyle p} 的完全统计量。注意到 T {\displaystyle T} 服从参数为 n {\displaystyle n} p {\displaystyle p} 的二项分布。若有某个 g {\displaystyle g} ,使得 E p ( g ( T ) ) = 0 {\displaystyle E_{p}(g(T))=0} p ( 0 , 1 ) {\displaystyle p\in (0,1)} 都成立,则

0 = i = 0 n ( n i ) p i ( 1 p ) n i g ( i ) = ( 1 p ) n i = 0 n g ( i ) ( n i ) ( p 1 p ) i , p ( 0 , 1 ) . {\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}g(i)=(1-p)^{n}\sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{i},p\in (0,1).}

r = p / ( 1 p ) R {\displaystyle r=p/(1-p)\in \mathbb {R} } ,则多项式 i = 0 n g ( i ) ( n i ) r i {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}r^{i}} R {\displaystyle \mathbb {R} } 上恒为0。可知其每一项系数都为0,进而得到 g = 0 {\displaystyle g=0} 。由定义, T = i = 1 b X i {\displaystyle T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}} p {\displaystyle p} 的完全统计量。

有界完全性出现在巴苏定理中, 它指出任何有界完全且充分的统计量与任何辅助统计量独立。

有界完全性也出现在Bahadur定理中。 定理指出,当至少存在一个最小充分统计量时,如果一个统计量是充分的并且有界完全的,则它是一个最小充分统计量。

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