基本多边形

在数学上，每个闭曲面在几何拓扑的意义下，可以由一个偶数条边的有向多边形，把它的边成对地粘合构造出来，这样的多边形称之为基本多边形（fundamental polygon）。

这个构造可以表示成一个长为2的字符串，一共个不同的符号，每个符号出现两次带有指数 +1或 -1。指数 -1的符号对应于该边的定向与基本多边形的定向相反。

上图中标有相同字母的两条边，沿着箭头方向粘合。

对标准对称形状，多边形的边可以理解为一个群的生成元。然后这个多边形，写成群元素形式，成为由这些边生成的自由群上一个约束，给出有一个约束的群呈示。

因此，例如给定欧几里得平面${\displaystyle {\mathbb{R}}^2}$可定向闭曲面有如下标准基本多边形：

（不可定向）亏格的不可定向闭曲面有如下标准基本多边形：

或者，不可定向曲面能由两种形式给出，亏格 克莱因瓶与亏格 实射影平面。亏格2克莱因瓶由一个4边形给出

（注意最后的${\displaystyle B_n}$+1射影平面由一个4+2边形给出

最后两类情形穷尽了所有可能的不可定向曲面，这是昂利·庞加莱证明的。

一个（双曲）紧黎曼曲面的基本多边形有许多重要的性质，将曲面与它的富克斯模型（Fuchsian model）联系起来。即一个双曲紧黎曼曲面可以上半平面做为万有覆叠，从而可以表示为一个商流形H/Γ，这里 Γ是一个非阿贝尔群同构于曲面的甲板变换群（deck transformation group）。商空间的陪集有标准多边形做为代表元素。在下面，注意所有黎曼曲面都是可定向的。

给定上半平面H中一点${\displaystyle z_0}$是上半平面的双曲度量。度量基本多边形有时也称为狄里克雷区域（Dirichlet region）或沃罗诺伊多边形（Voronoi polygon）。

给定任何度量基本多边形，用有限步可以构造另一个基本多边形，标准基本多边形（standard fundamental polygon），它具有额外一组值得注意的性质：

上面的构造足够保证多边形的每条边在流形H/Γ中是一个闭（非平凡）环路。就其本身而言，每条边可以为基本群${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(\mathbb{H}/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->})}$个生成元素${\displaystyle A_1,B_1,A_2,B_2,\cdots <!--\; \cdots \; -->A_n{B}_n}$。

度量基本多边形与标准多边形通常有不同的边数。比如，环面的标准基本多边形是一个基本平行四边形（fundamental parallelogram）。相比而言，度量基本多边形有六条边，是一个六边形。只需注意到六边形的边垂直平分平行四边形的边就可以看出来。这就是，取格中一点，然后考虑连接这点与邻点的直线之集合。每个这样的线被另一条垂直线平分，被这样的第二个线集合围住的最小的空间是一个六边形。

事实后，上一个构造一般都可行：取一点，然后对Γ中，考虑与之间的测地线。平分这些测地线是另一个曲线集合，这些点的轨迹与和距离相等。由第二个线集合围住的最小区域是度量基本多边形。

标准基本多边形的面积是${\displaystyle 4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(n-<!--\; -\; -->1)}$是黎曼曲面的亏格（等价于4是多边形的边数）。由于标准多边形是H/Γ的一个代表，黎曼曲面的整个面积等于标准多边形的面积。这个面积公式由高斯-博内定理得出，在某种意义下黎曼-赫尔维茨公式（Riemann-Hurwitz formula）是其推广。

对标准多边形可以给出具体表达式。一个更有用的形式是使用与这个标准多边形关联的群${\displaystyle \mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}$定向曲面，群可由2格生成元${\displaystyle a_k}$给出。这些生成元由下列分式线性变换作用在上半平面给出。

对：

参数由

和

以及

给出。可以验证这些生成元服从约束

这给出整个群呈示。

在高维，基本多变形的想法体现为齐性空间。