二阶导数

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微积分中，函数 ${\displaystyle f}$ 的二阶导数（英语：second derivative或second order derivative）是其导数的导数。粗略而言，某量的二阶导数，描述该量的变化率本身是否变化得快。例如，物体位置对时间的二阶导数是瞬时加速度，即该物体的速度随时间的变化率。用莱布尼兹记法（英语：Leibniz notation）：

其中 ${\displaystyle \mathit{a}}$ 为加速度，${\displaystyle \mathit{v}}$ 为速度，${\displaystyle t}$ 为时间，${\displaystyle \mathit{x}}$ 为位置，而 ${\displaystyle \mathrm{d}}$ 表示瞬时的差值（又称“delta”值）。最后一式 ${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^2\mathit{x}}{\mathrm{d}{t}^2}}$ 是位置 ${\displaystyle \mathit{x}}$ 对时间的二阶导数。

绘制函数图形时，二阶导数描述曲线的曲率或凹凸性。若函数的二阶导数为正，则其图像是向上弯，像只杯（${\displaystyle \cup <!--\; \cup \; -->}$）。反之，若其二阶导数为负，则向下弯，像顶帽（${\displaystyle \cap <!--\; \cap \; -->}$）。

连续两次用一阶导数的幂法则（英语：power rule），则会推导出二阶导数的幂法则，如下所示：

公式对任意实数 ${\displaystyle n}$ 成立。

函数 ${\displaystyle f}$ 的二阶导函数常记为 ${\displaystyle f^{″}}$，其于 ${\displaystyle x}$ 处取值为 ${\displaystyle f^{″}(x)}$。换言之，

其中 ${\displaystyle {}^{\prime }}$ 表示一阶求导。若用莱布尼兹记法（英语：Leibniz's notation）表示导数，则因变数 ${\displaystyle y}$ 关于自变数 ${\displaystyle x}$ 的二阶导数记为

此种写法的理由是，${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}$ 表示对 ${\displaystyle x}$ 求导，从而求导两次应写成：

如前段所记，二阶导数标准的莱布尼兹记法为 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。然而，无法视之为纯代数符号作运算。意思是，虽然看似两个微分相除组成的分数，但是无法拆分、抵销等。不过，可藉另一种记法补救前述问题。此记法是基于一阶导数的商法则。倘若视 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 为两微分之商，则求导时，根据商法则应有：

上式中，${\displaystyle y^{″}(x)}$ 为二阶导数，但 ${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}}$ 则不然。${\displaystyle \mathrm{d}u}$ 表示微分算子施用于 ${\displaystyle u}$ 的结果，即 ${\displaystyle \mathrm{d}(u)}$，而 ${\displaystyle {\mathrm{d}}^{2}u}$ 表示微分算子迭代两次的结果，即 ${\displaystyle \mathrm{d}(\mathrm{d}(u))}$。最后 ${\displaystyle \mathrm{d}{u}^2}$ 是先微分再平方，即 ${\displaystyle (\mathrm{d}(u){)}^2}$。

若采此写法（并依上段解读各符号含义），则二阶导数各项可以自由操作，与其他代数项作运算。例如，二阶导数的反函数公式，可自上式经一轮代数运算而得。二阶导数的链式法则亦然。不过，运算上的方便，与更换符号的不便，孰轻孰重，仍待定论。

考虑

运用幂法则，${\displaystyle f}$ 的导数 ${\displaystyle f^{\prime }}$ 由下式给出：

${\displaystyle f}$ 的二阶导数即是对导数 ${\displaystyle f^{\prime }}$ 再次求导的结果，由下式给出：

另一个例子，考虑正弦函数 ${\displaystyle \sin }$。有

而再次求导后，得到

换言之，正弦函数的二阶导数是自身的相反数。

函数 ${\displaystyle f}$ 的二阶导数，描述其图像凹的方向和程度，即凹性（concavity）。若二阶导数在某区间恒正，则函数在该区间向上凹（向上弯，又称为凸函数或下凸函数），意即其切线总位于图像下方“承托”。反之，若二阶导数在某区间恒负，则函数在该区间向下凹（向下弯，又称为凹函数或上凸函数），其切线总位于图像的上方“压制”着。

若函数的二阶导数在某点的左右异号，则图像由向上弯转变成向下弯，或反之。此种点称为拐点（inflection point）。假设二阶导数连续，则在该点处必取零值，故可用“二阶导数为零”之条件，筛选出可能的拐点。不过，二阶导数为零的点不一定是拐点，如 ${\displaystyle f(x)=x^4}$ 有 ${\displaystyle f^{″}(0)=0}$，但 ${\displaystyle f}$ 在实数系上为凸，无拐点。

二阶导数与凹凸性的关系，有助判断函数 ${\displaystyle f}$ 的驻点（即满足 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=0}$ 的点 ${\displaystyle x}$）是否为局部极大点或极小点。具体言之：

直观理解，考虑一架赛车高速前进，但正在减速（加速度为负），则当速度降至零的一刻，赛车所在位置即为自起点出发，能达到的前方最远处，因为此后速度降至负值，赛车会倒车。同样，若考虑高速后退但加速度为正的赛车，则相应得到关于极小值的结论。

二阶导数若存在，则可以衹用一个极限写出：

以上极限称为二阶对称导数（英语：second symmetric derivative）。但是，有时二阶对称导数存在，则函数仍没有（平常的）二阶导数。

右侧欲求极限的分式，可理解成差商的差商：

故其极限可视作序列二阶差分的连续版本。

然而，上述极限存在并不推出函数 ${\displaystyle f}$ 二阶可导。该极限仅是二阶导数存在时，计算该导数的一种方法，但并非其定义。反例有符号函数 ${\displaystyle \mathrm{sgn}}$，其定义为：

符号函数在原点不连续，从而不可导，尤其并非二阶可导。但是，在 ${\displaystyle x=0}$ 处，二阶对称导数存在：

正如导数与线性近似密切相关，二阶导数也与二次近似如影随形。某函数 ${\displaystyle f}$ 于某点的二次近似，是一个二次函数，与 ${\displaystyle f}$ 在该点处具有一样的一、二阶导数。函数 ${\displaystyle f}$ 于 ${\displaystyle a}$ 附近的二次近似可写成：

函数的二次近似就是第二阶的泰勒多项式。

因为求导运算为线性，所以求导两次亦可视为函数空间上的线性算子，从而可以研究其谱。换言之，可求微分方程 ${\displaystyle v^{″}=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}v}$ 的函数解 ${\displaystyle v}$（本征向量）与常数 ${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$（本征值）。对于许多种边界条件，可以明确求出二阶导数的本征值与本征向量（英语：eigenvalues and eigenvectors of the second derivative）。

举例，以闭区间 ${\displaystyle }$ 为定义域，边界采用齐次狄利克雷条件（即 ${\displaystyle v(0)=v(L)=0}$），则诸本征值为 ${\displaystyle {\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_j=-<!--\; -\; -->\frac{j^2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{L^2}}$，对应本征向量（亦称本征函数）${\displaystyle v_j}$ 由

给出。此处 ${\displaystyle v_j^{″}(x)={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_j{v}_j(x)}$，${\displaystyle j}$ 为任意正整数。

其他情况的解，见二阶导数的本征值与本征向量（英语：eigenvalues and eigenvectors of the second derivative）。

二阶导数的高维推广，其一是同时考虑全体二阶偏导数 ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}}$。对于三元函数 ${\displaystyle f:{\mathbb{R}}^3\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$，二阶偏导数包括

以及混合偏导数

还有其他次序的混合偏导数，如 ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}}$，但由二阶导数的对称性，衹要 ${\displaystyle f}$ 满足特定条件（如二阶偏导数处处连续），则其他次序的混合偏导数等于上述已列出的偏导数。于是，各方向的二阶偏导数可以砌成一个对称方阵，称为黑塞方阵（英语：Hessian或Hessian matrix）。该方阵的本征值适用于多变量情况的二阶导数检验（称为二阶偏导数检验（英语：second partial derivative test））。

另一种常见推广，则是衹考虑对同一个变量的二阶导数，再求和，得到拉普拉斯算子（Laplace operator或Laplacian）。拉氏微分算子记作 ${\displaystyle {\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2}$ 或 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}$。以三维情形为例，定义为

函数的拉氏算子等于梯度的散度，亦是前述黑塞方阵之迹。