消失动量

✍ dations ◷ 2025-09-16 18:04:59 #

消失动量(Vanishing Moments),在连续小波变换(Continuous Wavelet Transform),是一项非常重要的参数,用来检视母小波(Mother wavelet)是否为高频的函数。

在连续小波变换中,母小波有4个主要限制如下。

1. 有值区间必须是有限的(Compact Support):

2. 必须是实函数(Real) :

3. 偶对称(Even Symmetric)或是奇对称(Odd Symmetric)

4. 消失动量越高越好:

首先定义第 k {\displaystyle k} 个动量( k t h {\displaystyle k_{th}} moment):

                              m                      k                          =                          t                      k                          ψ        (        t        )                d        t              {\displaystyle m_{k}=\int t^{k}\psi (t)\,dt}  

m 0 = m 1 = m 2 = . . . = m p 1 = 0 {\displaystyle m_{0}=m_{1}=m_{2}=...=m_{p-1}=0}

则我们说 ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} p {\displaystyle p} 个消失动量。

我们可以看到 m k = t k ψ ( t ) d t {\displaystyle m_{k}=\int t^{k}\psi (t)\,dt} 不太好计算,尤其是 k {\displaystyle k} 很大的时候。

此时,可以善用傅立叶转换来进行计算。

首先,观察傅立叶转换的公式:

                    G        (        f        )        =                g        (        t        )                  e                                  j            2            π            f            t                                  d        t              {\displaystyle G(f)=\int g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt}  

当令 f = 0 {\displaystyle f=0} 时,可以看到以上公式变成:

                    G        (        0        )        =                g        (        t        )                d        t              {\displaystyle G(0)=\int g(t)\,dt}  

正是第0个动量 m 0 {\displaystyle m_{0}}

因此,若要计算 g ( t ) {\displaystyle g(t)} 的第0个动量,可以先计算 g ( t ) {\displaystyle g(t)} 的傅立叶转换,再取直流项(也就是 f = 0 {\displaystyle f=0} )。

我们可以同样利用傅立叶转换来计算第 k {\displaystyle k} 个动量。

首先,傅立叶转换有一个性质: 在频域微分 k {\displaystyle k} 次,就相当于时域乘上 t k {\displaystyle t^{k}}  :

                                          1                          (                            j              2              π                              )                                  k                                                                              G                      (            k            )                          (        f        )        =                          t                      k                          g        (        t        )                  e                                  j            2            π            f            t                                  d        t              {\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(f)=\int t^{k}g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt}  

当令 f = 0 {\displaystyle f=0} 时,可以看到以上公式变成:

                                          1                          (                            j              2              π                              )                                  k                                                                              G                      (            k            )                          (        0        )        =                          t                      k                          g        (        t        )                d        t              {\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt}  

正是第 k {\displaystyle k} 个动量 m k {\displaystyle m_{k}}

因此,若要计算 g ( t ) {\displaystyle g(t)} 的第k个动量,可以先计算 g ( t ) {\displaystyle g(t)} 的傅立叶转换的k次微分,再取直流项(也就是 f = 0 {\displaystyle f=0} )。

哈尔小波转换是最简单的一种小波转换,使用哈尔基底(Haar Basis)来做母小波。

而墨西哥帽函数(Mexican hat function)也常被用来当母小波。

哈尔基底的数学表示式如下:

                    ψ        (        t        )        =                              {                                                            1                                                                    0                                    t                  <                  1                                      /                                    2                  ,                                                                                                1                                                  1                                      /                                    2                                    t                  <                  1                  ,                                                                              0                                                                                            otherwise.                                                                                                                            {\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1/2,\\-1&1/2\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}  

ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} 是一个奇函数,所以

                              m                      0                          =                ψ        (        t        )                d        t        =        0              {\displaystyle m_{0}=\int \psi (t)\,dt=0}  

t ψ ( t ) {\displaystyle t\psi (t)} 是偶函数,所以

                              m                      1                          =                t        ψ        (        t        )                d        t                0              {\displaystyle m_{1}=\int t\psi (t)\,dt\neq 0}  

因此,哈尔基底的消失动量为1。

墨西哥帽函数的数学表示式:

                    ψ        (        t        )        =                                            2                              5                                  /                                4                                                    3                                      (        1                2        π                  t                      2                          )                  e                                  π                          t                              2                                                          {\displaystyle \psi (t)={\frac {2^{5/4}}{\sqrt {3}}}(1-2\pi t^{2})e^{-\pi t^{2}}}  

仔细观察, ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} 其实是高斯函数的二次微分:

                    ψ        (        t        )        =        C                                            d                              2                                                    d                              t                                  2                                                                              e                                  π                          t                              2                                                    ,        C        =              {\displaystyle \psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}},C=}   常數。 

而高斯函数做傅立叶转换仍是高斯函数:

                    ψ        (        t        )        =        C                                            d                              2                                                    d                              t                                  2                                                                              e                                  π                          t                              2                                                                    C        4                  π                      2                                    f                      2                                    e                                  π                          f                              2                                                          {\displaystyle \psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}}\to -C4\pi ^{2}f^{2}e^{-\pi f^{2}}}  

利用

                                          1                          (                            j              2              π                              )                                  k                                                                              G                      (            k            )                          (        0        )        =                          t                      k                          g        (        t        )                d        t              {\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt}  

可以算出

                              m                      0                          =                  m                      1                          =        0        ,                  m                      2                                  0              {\displaystyle m_{0}=m_{1}=0,m_{2}\neq 0}  

所以墨西哥帽函数的消失动量为2。

墨西哥帽函数是高斯函数的二次微分,所以消失动量为2。

                    ψ        (        t        )        =                                            d                              p                                                    d                              t                                  p                                                                              e                                  π                          t                              2                                                          {\displaystyle \psi (t)={\frac {d^{p}}{dt^{p}}}e^{-\pi t^{2}}}  

其傅立叶转换为

                    (        j        2        π        f                  )                      p                                    e                                  π                          f                              2                                                          {\displaystyle (j2\pi f)^{p}e^{-\pi f^{2}}}  

利用

                                          1                          (                            j              2              π                              )                                  k                                                                              G                      (            k            )                          (        0        )        =                          t                      k                          g        (        t        )                d        t              {\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt}  

可以算出

                              m                      0                          =                  m                      1                          =                  m                      p                        1                          ,                  m                      p                                  0              {\displaystyle m_{0}=m_{1}=m_{p-1},m_{p}\neq 0}  

所以高斯函数p次微分的消失动量为p。

多贝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 都是一些常用的离散小波,而且都是由连续小波的离散系数推导而来。

                    2        n              {\displaystyle 2n}   點的多貝西小波,消失動量                     =        n              {\displaystyle =n}  

Symlet

                    2        n              {\displaystyle 2n}   點的Symlet,消失動量                     =        n              {\displaystyle =n}  

Symlet和多贝西小波非常类似,但是比多贝西小波还要对称。

消失动量是用以判断一个函数如何递减的指标。举例来说,对于函数

                    f        (        t        )        =                                            sin                            (              t              )                                      t                              2                                                          {\displaystyle f(t)={\frac {\sin(t)}{t^{2}}}}  

当输入值 t {\displaystyle t} 逐渐往无限大增加时,此函数会以 1 t 2 {\displaystyle {\frac {1}{t^{2}}}} 的速率递减。我们可用利用定义中的动量积分式 t k f ( t ) d t {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{k}f(t)\,dt} 来评估此函数的递减速率。

回到此范例中的函数,当 k = 0 {\displaystyle k=0} 时,由于分子 sin ( t ) {\displaystyle \sin(t)} 会在 {\displaystyle } 之间震荡,使得整个函数在 {\displaystyle } 震荡。

此性质使得 k = 0 {\displaystyle k=0} 时,

                                                                                                                                    t                      k                          (                                            sin                            (              t              )                                      t                              2                                                    )                d        t                0              {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{k}({\frac {\sin(t)}{t^{2}}})\,dt\to 0}   

函数积分式必定会收敛于0,代表第0个动量 m 0 = 0 {\displaystyle m_{0}=0}

k = 1 {\displaystyle k=1} 时,

                                                                                                                                    t                      k                          (                                            sin                            (              t              )                        t                          )                d        t        =        π              {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{k}({\frac {\sin(t)}{t}})\,dt=\pi }  

因此第1个动量 m 1 = π 0 {\displaystyle m_{1}=\pi \neq 0}

对于 k > 1 {\displaystyle k>1} 的情况,动量积分式均会随着 t {\displaystyle t\to \infty } 而发散。

由以上的范例,我们可借由能够让动量积分式收敛为0的最大 k {\displaystyle k} 值来判断函数的递减速率,而此最大 k {\displaystyle k} 值便是函数的消失动量。

在连续小波转换中,设计母小波的其中一个条件是有值区间比须是有限的,而母小波在有值区间内如何递减的特性,则可由消失动量来描述。

依照定义,小波母函数 ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} p {\displaystyle p}

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