消失动量(Vanishing Moments),在连续小波变换(Continuous Wavelet Transform),是一项非常重要的参数,用来检视母小波(Mother wavelet)是否为高频的函数。
在连续小波变换中,母小波有4个主要限制如下。
1. 有值区间必须是有限的(Compact Support):
2. 必须是实函数(Real) :
3. 偶对称(Even Symmetric)或是奇对称(Odd Symmetric)
4. 消失动量越高越好:
首先定义第
个动量(
moment):

若
,
则我们说
有
个消失动量。
我们可以看到
不太好计算,尤其是
很大的时候。
此时,可以善用傅立叶转换来进行计算。
首先,观察傅立叶转换的公式:

当令
时,可以看到以上公式变成:

正是第0个动量
。
因此,若要计算
的第0个动量,可以先计算
的傅立叶转换,再取直流项(也就是
)。
我们可以同样利用傅立叶转换来计算第
个动量。
首先,傅立叶转换有一个性质: 在频域微分
次,就相当于时域乘上
:

当令
时,可以看到以上公式变成:

正是第
个动量
。
因此,若要计算
的第k个动量,可以先计算
的傅立叶转换的k次微分,再取直流项(也就是
)。
哈尔小波转换是最简单的一种小波转换,使用哈尔基底(Haar Basis)来做母小波。
而墨西哥帽函数(Mexican hat function)也常被用来当母小波。
哈尔基底的数学表示式如下:

是一个奇函数,所以

但
是偶函数,所以

因此,哈尔基底的消失动量为1。
墨西哥帽函数的数学表示式:

仔细观察,
其实是高斯函数的二次微分:
常數。
而高斯函数做傅立叶转换仍是高斯函数:
。
利用

可以算出
。
所以墨西哥帽函数的消失动量为2。
墨西哥帽函数是高斯函数的二次微分,所以消失动量为2。
当

其傅立叶转换为
。
利用

可以算出
。
所以高斯函数p次微分的消失动量为p。
多贝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 都是一些常用的离散小波,而且都是由连续小波的离散系数推导而来。
點的多貝西小波,消失動量 
Symlet
點的Symlet,消失動量 
Symlet和多贝西小波非常类似,但是比多贝西小波还要对称。
消失动量是用以判断一个函数如何递减的指标。举例来说,对于函数

当输入值
逐渐往无限大增加时,此函数会以
的速率递减。我们可用利用定义中的动量积分式
来评估此函数的递减速率。
回到此范例中的函数,当
时,由于分子
会在
之间震荡,使得整个函数在
震荡。
此性质使得
时,
函数积分式必定会收敛于0,代表第0个动量
当
时,

因此第1个动量
对于
的情况,动量积分式均会随着
而发散。
由以上的范例,我们可借由能够让动量积分式收敛为0的最大
值来判断函数的递减速率,而此最大
值便是函数的消失动量。
在连续小波转换中,设计母小波的其中一个条件是有值区间比须是有限的,而母小波在有值区间内如何递减的特性,则可由消失动量来描述。
依照定义,小波母函数
有 
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