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消失动量

✍ dations ◷ 2024-09-20 10:45:54 #

消失动量(Vanishing Moments)，在连续小波变换(Continuous Wavelet Transform)，是一项非常重要的参数，用来检视母小波(Mother wavelet)是否为高频的函数。

在连续小波变换中，母小波有4个主要限制如下。

1. 有值区间必须是有限的(Compact Support):

2. 必须是实函数(Real) :

3. 偶对称(Even Symmetric)或是奇对称(Odd Symmetric)

4. 消失动量越高越好:

首先定义第 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个动量( $k_{th}$ $k_{th}$ moment):

 $m_{k}=\int t^{k}\psi (t)\,dt$  $m_{k}=\int t^{k}\psi (t)\,dt$

若 $m_{0}=m_{1}=m_{2}=...=m_{p-1}=0$ $m_{0}=m_{1}=m_{2}=...=m_{p-1}=0$ ，

则我们说 $\psi (t)$ $\psi (t)$ 有 $p {\displaystyle p}$ $p$ 个消失动量。

我们可以看到 $m_{k}=\int t^{k}\psi (t)\,dt$ $m_{k}=\int t^{k}\psi (t)\,dt$ 不太好计算，尤其是 $k {\displaystyle k}$ $k$ 很大的时候。

此时，可以善用傅立叶转换来进行计算。

首先，观察傅立叶转换的公式:

 $G(f)=\int g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$  $G(f)=\int g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

当令 $f=0$ $f=0$ 时，可以看到以上公式变成:

 $G(0)=\int g(t)\,dt$  $G(0)=\int g(t)\,dt$

正是第0个动量 $m_{0}$ $m_{0}$ 。

因此，若要计算 $g(t)$ $g(t)$ 的第0个动量，可以先计算 $g(t)$ $g(t)$ 的傅立叶转换，再取直流项(也就是 $f=0$ $f=0$ )。

我们可以同样利用傅立叶转换来计算第 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个动量。

首先，傅立叶转换有一个性质: 在频域微分 $k {\displaystyle k}$ $k$ 次，就相当于时域乘上 $t^{k}$ $t^{k}$ :

 ${\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(f)=\int t^{k}g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$  ${\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(f)=\int t^{k}g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

当令 $f=0$ $f=0$ 时，可以看到以上公式变成:

 ${\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt$  ${\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt$

正是第 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个动量 $m_{k}$ $m_{k}$ 。

因此，若要计算 $g(t)$ $g(t)$ 的第k个动量，可以先计算 $g(t)$ $g(t)$ 的傅立叶转换的k次微分，再取直流项(也就是 $f=0$ $f=0$ )。

哈尔小波转换是最简单的一种小波转换，使用哈尔基底(Haar Basis)来做母小波。

而墨西哥帽函数(Mexican hat function)也常被用来当母小波。

哈尔基底的数学表示式如下:

 $\psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1/2,\\-1&1/2\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$  $\psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1/2,\\-1&1/2\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$

$\psi (t)$ $\psi (t)$ 是一个奇函数，所以

 $m_{0}=\int \psi (t)\,dt=0$  $m_{0}=\int \psi (t)\,dt=0$

但 $t\psi (t)$ $t\psi (t)$ 是偶函数，所以

 $m_{1}=\int t\psi (t)\,dt\neq 0$  $m_{1}=\int t\psi (t)\,dt\neq 0$

因此，哈尔基底的消失动量为1。

墨西哥帽函数的数学表示式:

 $\psi (t)={\frac {2^{5/4}}{\sqrt {3}}}(1-2\pi t^{2})e^{-\pi t^{2}}$  $\psi (t)={\frac {2^{5/4}}{\sqrt {3}}}(1-2\pi t^{2})e^{-\pi t^{2}}$

仔细观察， $\psi (t)$ $\psi (t)$ 其实是高斯函数的二次微分:

 $\psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}},C=$  $\psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}},C=$  常數。

而高斯函数做傅立叶转换仍是高斯函数:

 $\psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}}\to -C4\pi ^{2}f^{2}e^{-\pi f^{2}}$  $\psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}}\to -C4\pi ^{2}f^{2}e^{-\pi f^{2}}$ 。

利用

 ${\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt$  ${\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt$

可以算出

 $m_{0}=m_{1}=0,m_{2}\neq 0$  $m_{0}=m_{1}=0,m_{2}\neq 0$ 。

所以墨西哥帽函数的消失动量为2。

墨西哥帽函数是高斯函数的二次微分，所以消失动量为2。

当

 $\psi (t)={\frac {d^{p}}{dt^{p}}}e^{-\pi t^{2}}$  $\psi (t)={\frac {d^{p}}{dt^{p}}}e^{-\pi t^{2}}$

其傅立叶转换为

 $(j2\pi f)^{p}e^{-\pi f^{2}}$  $(j2\pi f)^{p}e^{-\pi f^{2}}$ 。

利用

 ${\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt$  ${\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt$

可以算出

 $m_{0}=m_{1}=m_{p-1},m_{p}\neq 0$  $m_{0}=m_{1}=m_{p-1},m_{p}\neq 0$ 。

所以高斯函数p次微分的消失动量为p。

多贝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 都是一些常用的离散小波，而且都是由连续小波的离散系数推导而来。

 $2n$  $2n$  點的多貝西小波，消失動量  $=n$  $=n$

Symlet

 $2n$  $2n$  點的Symlet，消失動量  $=n$  $=n$

Symlet和多贝西小波非常类似，但是比多贝西小波还要对称。

消失动量是用以判断一个函数如何递减的指标。举例来说，对于函数

 $f(t)={\frac {\sin(t)}{t^{2}}}$  $f(t)={\frac {\sin(t)}{t^{2}}}$

当输入值 $t {\displaystyle t}$ $t$ 逐渐往无限大增加时，此函数会以 ${\frac {1}{t^{2}}}$ ${\frac {1}{t^{2}}}$ 的速率递减。我们可用利用定义中的动量积分式 $\int _{-\infty }^{\infty }t^{k}f(t)\,dt$ $\int _{-\infty }^{\infty }t^{k}f(t)\,dt$ 来评估此函数的递减速率。

回到此范例中的函数，当 $k=0$ $k=0$ 时，由于分子 $\sin(t)$ $\sin(t)$ 会在 ${\displaystyle }$ $\text{[math]}$ 之间震荡，使得整个函数在 ${\displaystyle }$ $\text{[math]}$ 震荡。

此性质使得 $k=0$ $k=0$ 时，

 $\int _{-\infty }^{\infty }t^{k}({\frac {\sin(t)}{t^{2}}})\,dt\to 0$  $\int _{-\infty }^{\infty }t^{k}({\frac {\sin(t)}{t^{2}}})\,dt\to 0$

函数积分式必定会收敛于0，代表第0个动量 $m_{0}=0$ $m_{0}=0$

当 $k=1$ $k=1$ 时，

 $\int _{-\infty }^{\infty }t^{k}({\frac {\sin(t)}{t}})\,dt=\pi$  $\int _{-\infty }^{\infty }t^{k}({\frac {\sin(t)}{t}})\,dt=\pi$

因此第1个动量 $m_{1}=\pi \neq 0$ $m_{1}=\pi \neq 0$

对于 $k>1$ $k>1$ 的情况，动量积分式均会随着 $t\to \infty$ $t\to \infty$ 而发散。

由以上的范例，我们可借由能够让动量积分式收敛为0的最大 $k {\displaystyle k}$ $k$ 值来判断函数的递减速率，而此最大 $k {\displaystyle k}$ $k$ 值便是函数的消失动量。

在连续小波转换中，设计母小波的其中一个条件是有值区间比须是有限的，而母小波在有值区间内如何递减的特性，则可由消失动量来描述。

依照定义，小波母函数 $\psi (t)$ $\psi (t)$ 有 $p {\displaystyle p}$ $\text{[math]}$

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