消失动量

消失动量(Vanishing Moments)，在连续小波变换(Continuous Wavelet Transform)，是一项非常重要的参数，用来检视母小波(Mother wavelet)是否为高频的函数。

在连续小波变换中，母小波有4个主要限制如下。

1. 有值区间必须是有限的(Compact Support):

2. 必须是实函数(Real) :

3. 偶对称(Even Symmetric)或是奇对称(Odd Symmetric)

4. 消失动量越高越好:

首先定义第 ${\displaystyle k}$ 个动量( ${\displaystyle k_{th}}$ moment):

${\displaystyle m_k=\int <!--\; \int \; -->t^k\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)dt}$

若 ${\displaystyle m_0=m_1=m_2=...=m_{p-<!--\; -\; -->1}=0}$，

则我们说 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)}$ 有 ${\displaystyle p}$ 个消失动量。

我们可以看到 ${\displaystyle m_k=\int <!--\; \int \; -->t^k\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)dt}$ 不太好计算，尤其是 ${\displaystyle k}$ 很大的时候。

此时，可以善用傅立叶转换来进行计算。

首先，观察傅立叶转换的公式:

${\displaystyle G(f)=\int <!--\; \int \; -->g(t)e^{-<!--\; -\; -->j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ft}dt}$

当令${\displaystyle f=0}$时，可以看到以上公式变成:

${\displaystyle G(0)=\int <!--\; \int \; -->g(t)dt}$

正是第0个动量 ${\displaystyle m_0}$。

因此，若要计算 ${\displaystyle g(t)}$ 的第0个动量，可以先计算 ${\displaystyle g(t)}$ 的傅立叶转换，再取直流项(也就是 ${\displaystyle f=0}$ )。

我们可以同样利用傅立叶转换来计算第 ${\displaystyle k}$ 个动量。

首先，傅立叶转换有一个性质: 在频域微分 ${\displaystyle k}$ 次，就相当于时域乘上 ${\displaystyle t^k}$ :

${\displaystyle \frac{1}{(-<!--\; -\; -->j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^k}{G}^{(k)}(f)=\int <!--\; \int \; -->t^{k}g(t)e^{-<!--\; -\; -->j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ft}dt}$

当令${\displaystyle f=0}$时，可以看到以上公式变成:

${\displaystyle \frac{1}{(-<!--\; -\; -->j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^k}{G}^{(k)}(0)=\int <!--\; \int \; -->t^{k}g(t)dt}$

正是第 ${\displaystyle k}$ 个动量 ${\displaystyle m_k}$。

因此，若要计算 ${\displaystyle g(t)}$ 的第k个动量，可以先计算 ${\displaystyle g(t)}$ 的傅立叶转换的k次微分，再取直流项(也就是 ${\displaystyle f=0}$ )。

哈尔小波转换是最简单的一种小波转换，使用哈尔基底(Haar Basis)来做母小波。

而墨西哥帽函数(Mexican hat function)也常被用来当母小波。

哈尔基底的数学表示式如下:

${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)}$ 是一个奇函数，所以

${\displaystyle m_0=\int <!--\; \int \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)dt=0}$

但 ${\displaystyle t\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)}$ 是偶函数，所以

${\displaystyle m_1=\int <!--\; \int \; -->t\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)dt\ne <!--\; \ne \; -->0}$

因此，哈尔基底的消失动量为1。

墨西哥帽函数的数学表示式:

${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)=\frac{2^{5/4}}{\sqrt{3}}(1-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{t}^2)e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{t}^2}}$

仔细观察，${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)}$ 其实是高斯函数的二次微分:

${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)=C\frac{d^2}{d{t}^2}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{t}^2},C=}$ 常數。 

而高斯函数做傅立叶转换仍是高斯函数:

${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)=C\frac{d^2}{d{t}^2}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{t}^2}\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->C4{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2{f}^2{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}^2}}$。

利用

${\displaystyle \frac{1}{(-<!--\; -\; -->j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^k}{G}^{(k)}(0)=\int <!--\; \int \; -->t^{k}g(t)dt}$

可以算出

${\displaystyle m_0=m_1=0,m_2\ne <!--\; \ne \; -->0}$。

所以墨西哥帽函数的消失动量为2。

墨西哥帽函数是高斯函数的二次微分，所以消失动量为2。

当

${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)=\frac{d^p}{d{t}^p}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{t}^2}}$

其傅立叶转换为

${\displaystyle (j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}f{)}^p{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}^2}}$。

利用

${\displaystyle \frac{1}{(-<!--\; -\; -->j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^k}{G}^{(k)}(0)=\int <!--\; \int \; -->t^{k}g(t)dt}$

可以算出

${\displaystyle m_0=m_1=m_{p-<!--\; -\; -->1},m_p\ne <!--\; \ne \; -->0}$。

所以高斯函数p次微分的消失动量为p。

多贝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 都是一些常用的离散小波，而且都是由连续小波的离散系数推导而来。

${\displaystyle 2n}$ 點的多貝西小波，消失動量 ${\displaystyle =n}$

Symlet

${\displaystyle 2n}$ 點的Symlet，消失動量 ${\displaystyle =n}$

Symlet和多贝西小波非常类似，但是比多贝西小波还要对称。

消失动量是用以判断一个函数如何递减的指标。举例来说，对于函数

${\displaystyle f(t)=\frac{\sin <!--\; \; -->(t)}{t^2}}$

当输入值${\displaystyle t}$逐渐往无限大增加时，此函数会以${\displaystyle \frac{1}{t^2}}$的速率递减。我们可用利用定义中的动量积分式${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{t}^{k}f(t)dt}$来评估此函数的递减速率。

回到此范例中的函数，当${\displaystyle k=0}$时，由于分子${\displaystyle \sin <!--\; \; -->(t)}$会在${\displaystyle }$之间震荡，使得整个函数在${\displaystyle }$震荡。

此性质使得${\displaystyle k=0}$时，

${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{t}^k(\frac{\sin <!--\; \; -->(t)}{t^2})dt\to <!--\; \to \; -->0}$ 

函数积分式必定会收敛于0，代表第0个动量${\displaystyle m_0=0}$

当${\displaystyle k=1}$时，

${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{t}^k(\frac{\sin <!--\; \; -->(t)}{t})dt=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$

因此第1个动量${\displaystyle m_1=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->0}$

对于${\displaystyle k>1}$的情况，动量积分式均会随着${\displaystyle t\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$而发散。

由以上的范例，我们可借由能够让动量积分式收敛为0的最大${\displaystyle k}$值来判断函数的递减速率，而此最大${\displaystyle k}$值便是函数的消失动量。

在连续小波转换中，设计母小波的其中一个条件是有值区间比须是有限的，而母小波在有值区间内如何递减的特性，则可由消失动量来描述。

依照定义，小波母函数${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)}$有 ${\displaystyle p}$

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