首页 >
直线
✍ dations ◷ 2024-12-22 20:24:58 #直线
直线,是一个点在平面或空间沿着一定方向和其相反方向运动的轨迹,是不弯曲的线。直线是几何学的基本概念,在不同的几何学体系中有着不同的描述。在这里主要描述欧几里得空间中的直线。其他曲率非零状况下的直线,请参考非欧几里得几何。欧几里得几何研究曲率为零的空间下状况,它并未对点、直线、平面、空间给出定义,而是通过公理来描述点线面的关系。
欧几里得几何中的直线可以看作是一个点的集合,这个集合中的任意一点都在这个集合中的其他任意两点所确定的直线上。“过两点有且只有一条直线”是欧几里得几何体系中的一条公理,“有且只有”意即“确定”,即两点确定一直线。在几何学中,直线没有粗细,没有端点,没有方向性,具有无限的长度,具有固定的位置。在解析几何中,我们常用线性方程描述一条直线。平行于x-或y-轴最简单的直线方程是平行于x-轴或y-轴的直线:当中
a
{displaystyle a}
和
b
{displaystyle b}
分别是x-和y-截距。一般式对于所有的直线,都可以形式来表示。这表示示形式并不是唯一的,但习惯上常限制
A
≥
0
{displaystyle Ageq 0}
及
gcd
(
A
,
B
,
C
)
=
1
{displaystyle gcd(A,B,C)=1}
。在此限制下,同一条直线只有一种表达形式。在这形式下,直线的斜率是
−
A
B
{displaystyle -{frac {A}{B}}}
,x-截距是
−
C
A
{displaystyle -{frac {C}{A}}}
,y-截距是
−
C
B
{displaystyle -{frac {C}{B}}}
。斜截式在直线不平行于y-轴时,若斜率是
m
{displaystyle m}
,y-截距是
b
{displaystyle b}
,则有方程在这形式下,直线的表达形式是唯一的。二点式若直线穿过两点
(
x
1
,
y
1
)
{displaystyle (x_{1},y_{1})}
和
(
x
2
,
y
2
)
{displaystyle (x_{2},y_{2})}
,则有方程等价地,可以用行列式表示。点斜式若直线穿过一点
(
x
0
,
y
0
)
{displaystyle (x_{0},y_{0})}
,而且斜率是
m
{displaystyle m}
,则有方程截距式若直线的x-和y-截距分别是
a
{displaystyle a}
和
b
{displaystyle b}
,则方程为法线式过原点向直线作一垂直线段,若该线长度为
p
{displaystyle p}
,且与正x-轴的倾斜角为
α
{displaystyle alpha }
,则有方程向量式若直线穿过一点
a
=
[
x
0
y
0
]
{displaystyle mathbf {a} ={begin{bmatrix}x_{0}\y_{0}\end{bmatrix}}}
,且有方向向量
u
=
[
u
x
u
y
]
{displaystyle mathbf {u} ={begin{bmatrix}u_{x}\u_{y}\end{bmatrix}}}
,则有向量方程当中
r
=
[
x
y
]
{displaystyle mathbf {r} ={begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}}}
,而
λ
{displaystyle lambda }
是一任意实数。须要注意的是,这直线的表达形式并不是唯一的。参数式从向量式出发,可以参数
λ
{displaystyle lambda }
表示方程其中
λ
{displaystyle lambda }
是一任意实数。在三维坐标上,由于一条等式只代表一个平面,一条直线须由最少两条等式定义。平行于x-、y-或z-轴平行于x-、y-或z-轴的直线有方程的形式。一般式对于任何直线,一般式都能以两个非平行平面定义:其中
A
1
:
B
1
:
C
1
≠
A
2
:
B
2
:
C
2
{displaystyle A_{1}:B_{1}:C_{1}neq A_{2}:B_{2}:C_{2}}
。由于从一条直线可引申出无限对平面,这表示方式并不是唯一的。因此又能考虑以三个共线平面定义:或合并记作其中系数须乎合关系
A
F
+
B
E
+
C
D
=
0
{displaystyle AF+BE+CD=0}
,以保证三个平面相交于同一直线。事实上,这三条等式分别对应着直线在xy-、yz-和xz-平面的投影。在限制
A
≥
0
{displaystyle Ageq 0}
及
gcd
(
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
F
)
=
1
{displaystyle gcd(A,B,C,D,E,F)=1}
下,同一条直线只有一种表达形式。(注:对于平行于轴平面的直线,例如
2
y
−
3
z
+
1
=
x
−
1
=
0
{displaystyle 2y-3z+1=x-1=0}
,会有以下表示方式:对于定义一条直线,这步骤是非必要的。但在本页往后的部分,这表示方式能简化一些公式。)斜截式类似于二维的情形,在直线不平行于yz-轴平面时,可以写成的形式。在这形式下,直线的表达形式是唯一的。(注:对于直线平行于yz-平面时,以上方式并不适用。但直线仍可表示成二点式若直线穿过两点
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}
和
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
{displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}
,则有方程等价地,可以用行列式表示。向量式若直线穿过一点
a
=
[
x
0
y
0
z
0
]
{displaystyle mathbf {a} ={begin{bmatrix}x_{0}\y_{0}\z_{0}\end{bmatrix}}}
,且有方向向量
u
=
[
u
x
u
y
u
z
]
{displaystyle mathbf {u} ={begin{bmatrix}u_{x}\u_{y}\u_{z}\end{bmatrix}}}
,则有向量方程当中
r
=
[
x
y
z
]
{displaystyle mathbf {r} ={begin{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix}}}
,而
λ
{displaystyle lambda }
是一任意实数。须要注意的是,这直线的表达形式并不是唯一的。参数式从向量式出发,可以参数
λ
{displaystyle lambda }
表示方程其中
λ
{displaystyle lambda }
是一任意实数。一般情况下,点与直线的距离,是指点到直线的最短距离,即垂直距离。在二维直角坐标中,直线
A
x
+
B
y
+
C
=
0
{displaystyle Ax+By+C=0}
与点
(
p
,
q
)
{displaystyle (p,q)}
的最短距离为给出向量式
r
=
a
+
λ
u
{displaystyle mathbf {r} =mathbf {a} +lambda mathbf {u} }
和 点
p
=
[
p
q
]
{displaystyle mathbf {p} ={begin{bmatrix}p\q\end{bmatrix}}}
,则有距离在三维直角坐标中,直线
A
x
−
B
y
+
D
=
0
C
y
−
A
z
+
E
=
0
B
z
−
C
x
+
F
=
0
{displaystyle {begin{alignedat}{7}Ax&&;-;&&By&&;+;&&D;&&=;&&0&\Cy&&;-;&&Az&&;+;&&E;&&=;&&0&\Bz&&;-;&&Cx&&;+;&&F;&&=;&&0end{alignedat}}}
与点
(
p
,
q
,
r
)
{displaystyle (p,q,r)}
的最短距离为给出向量式
r
=
a
+
λ
u
{displaystyle mathbf {r} =mathbf {a} +lambda mathbf {u} }
和点
p
=
[
p
q
r
]
{displaystyle mathbf {p} ={begin{bmatrix}p\q\r\end{bmatrix}}}
,则有距离不考虑重合的情形,在二维平面中,两条相交直线可以相交或平行。给定两条直线
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
=
0
{displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0}
和
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
=
0
{displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}
,二者相交的条件是或等价地,当中
|
a
b
c
d
|
=
a
d
−
b
c
{displaystyle {begin{vmatrix}a&b\c&dend{vmatrix}}=ad-bc}
。这时两线的相交点可从克莱姆法则求得在三维空间中,不考虑重合的情形,两条直线可以相交、平行或歪斜(异面)。给定两条直线
A
1
x
−
B
1
y
+
D
1
=
0
C
1
y
−
A
1
z
+
E
1
=
0
B
1
z
−
C
1
x
+
F
1
=
0
{displaystyle {begin{alignedat}{7}A_{1}x&&;-;&&B_{1}y&&;+;&&D_{1};&&=;&&0&\C_{1}y&&;-;&&A_{1}z&&;+;&&E_{1};&&=;&&0&\B_{1}z&&;-;&&C_{1}x&&;+;&&F_{1};&&=;&&0end{alignedat}}}
及
A
2
x
−
B
2
y
+
D
2
=
0
C
2
y
−
A
2
z
+
E
2
=
0
B
2
z
−
C
2
x
+
F
2
=
0
{displaystyle {begin{alignedat}{7}A_{2}x&&;-;&&B_{2}y&&;+;&&D_{2};&&=;&&0&\C_{2}y&&;-;&&A_{2}z&&;+;&&E_{2};&&=;&&0&\B_{2}z&&;-;&&C_{2}x&&;+;&&F_{2};&&=;&&0end{alignedat}}}
,二者相交的条件是这时两线的相交点可从克莱姆法则求得若两线相交,则会形成夹角。两线之间的夹角,通常指不大于90°的一只。在二维平面上,给定直线
y
=
m
x
+
b
{displaystyle y=mx+b}
,该线与x-轴的夹角为给定两条直线
y
=
m
1
x
+
b
1
{displaystyle y=m_{1}x+b_{1}}
和
y
=
m
2
x
+
b
2
{displaystyle y=m_{2}x+b_{2}}
,二者互相垂直当且仅当而其他情况,两线相交所形成的夹角
θ
{displaystyle theta }
(
0
∘
≤
θ
<
90
∘
{displaystyle 0^{circ }leq theta <90^{circ }}
),则由给出。给定相交直线向量式
r
=
a
1
+
λ
u
1
{displaystyle mathbf {r} =mathbf {a_{1}} +lambda mathbf {u_{1}} }
和
r
=
a
2
+
μ
u
2
{displaystyle mathbf {r} =mathbf {a_{2}} +mu mathbf {u_{2}} }
,则有在三维空间中,给定两条相交直线
y
=
m
1
x
+
b
1
z
=
n
1
x
+
c
1
{displaystyle {begin{alignedat}{5}y&&;=;&&m_{1}x&&;+;&&b_{1}\z&&;=;&&n_{1}x&&;+;&&c_{1}end{alignedat}}}
和
y
=
m
2
x
+
b
2
z
=
n
2
x
+
c
2
{displaystyle {begin{alignedat}{5}y&&;=;&&m_{2}x&&;+;&&b_{2}\z&&;=;&&n_{2}x&&;+;&&c_{2}end{alignedat}}}
,二者互相垂直当且仅当而其他情况,两线相交所形成的夹角
θ
{displaystyle theta }
(
0
∘
≤
θ
<
90
∘
{displaystyle 0^{circ }leq theta <90^{circ }}
),则由给出,当中
|
a
b
c
d
|
=
a
d
−
b
c
{displaystyle {begin{vmatrix}a&b\c&dend{vmatrix}}=ad-bc}
。若取
n
1
=
n
2
=
0
{displaystyle n_{1}=n_{2}=0}
, 则公式退化成二维的形式。给定相交直线向量式
r
=
a
1
+
λ
u
1
{displaystyle mathbf {r} =mathbf {a_{1}} +lambda mathbf {u_{1}} }
和
r
=
a
2
+
μ
u
2
{displaystyle mathbf {r} =mathbf {a_{2}} +mu mathbf {u_{2}} }
,则有一般情况下,两条直线的距离,是指最短距离。二维情况下,两条相交直线的距离必然为
0
{displaystyle 0}
。若有两条平行直线
A
x
+
B
y
+
C
1
=
0
{displaystyle Ax+By+C_{1}=0}
及
A
x
+
B
y
+
C
2
=
0
{displaystyle Ax+By+C_{2}=0}
,则有距离给定平行向量式
r
=
a
1
+
λ
u
{displaystyle mathbf {r} =mathbf {a_{1}} +lambda mathbf {u} }
和
r
=
a
2
+
μ
u
{displaystyle mathbf {r} =mathbf {a_{2}} +mu mathbf {u} }
,则有三维情况下,两条相交直线的距离同样必然为
0
{displaystyle 0}
。若有两条平行直线
A
x
−
B
y
+
D
1
=
0
C
y
−
A
z
+
E
1
=
0
B
z
−
C
x
+
F
1
=
0
{displaystyle {begin{alignedat}{7}Ax&&;-;&&By&&;+;&&D_{1};&&=;&&0&\Cy&&;-;&&Az&&;+;&&E_{1};&&=;&&0&\Bz&&;-;&&Cx&&;+;&&F_{1};&&=;&&0end{alignedat}}}
及
A
x
−
B
y
+
D
2
=
0
C
y
−
A
z
+
E
2
=
0
B
z
−
C
x
+
F
2
=
0
{displaystyle {begin{alignedat}{7}Ax&&;-;&&By&&;+;&&D_{2};&&=;&&0&\Cy&&;-;&&Az&&;+;&&E_{2};&&=;&&0&\Bz&&;-;&&Cx&&;+;&&F_{2};&&=;&&0end{alignedat}}}
,则有距离给定平行直线向量式
r
=
a
1
+
λ
u
{displaystyle mathbf {r} =mathbf {a_{1}} +lambda mathbf {u} }
和
r
=
a
2
+
μ
u
{displaystyle mathbf {r} =mathbf {a_{2}} +mu mathbf {u} }
,则有两条歪斜直线(即既非相交,亦非平行)有方程
A
1
x
−
B
1
y
+
D
1
=
0
C
1
y
−
A
1
z
+
E
1
=
0
B
1
z
−
C
1
x
+
F
1
=
0
{displaystyle {begin{alignedat}{7}A_{1}x&&;-;&&B_{1}y&&;+;&&D_{1};&&=;&&0&\C_{1}y&&;-;&&A_{1}z&&;+;&&E_{1};&&=;&&0&\B_{1}z&&;-;&&C_{1}x&&;+;&&F_{1};&&=;&&0end{alignedat}}}
及
A
2
x
−
B
2
y
+
D
2
=
0
C
2
y
−
A
2
z
+
E
2
=
0
B
2
z
−
C
2
x
+
F
2
=
0
{displaystyle {begin{alignedat}{7}A_{2}x&&;-;&&B_{2}y&&;+;&&D_{2};&&=;&&0&\C_{2}y&&;-;&&A_{2}z&&;+;&&E_{2};&&=;&&0&\B_{2}z&&;-;&&C_{2}x&&;+;&&F_{2};&&=;&&0end{alignedat}}}
,则有距离当中
|
a
b
c
d
|
=
a
d
−
b
c
{displaystyle {begin{vmatrix}a&b\c&dend{vmatrix}}=ad-bc}
。给定歪斜直线向量式
r
=
a
1
+
λ
u
1
{displaystyle mathbf {r} =mathbf {a_{1}} +lambda mathbf {u_{1}} }
和
r
=
a
2
+
μ
u
2
{displaystyle mathbf {r} =mathbf {a_{2}} +mu mathbf {u_{2}} }
,则有距离
相关
- 方舱医院方舱医院是一种以方舱形式快速建成的模块化医院,这里指的是直接透过征用空间进行设置的大型医疗隔离所,有些甚至是大型活动场地与休课高校改建的。由于2019冠状病毒病疫情的爆
- 錇5f9 7s22, 8, 18, 32, 27, 8, 2主条目:锫的同位素锫(台湾称鉳;英语:Berkelium)是一种放射性化学元素,符号为Bk,原子序为97,属于锕系元素和超铀元素。位于美国加州伯克利的劳伦斯伯克
- 毒扁豆碱毒扁豆碱(英语:Physostigmine或 eserine)是一种在毒扁豆(在西非称为éséré)中提取的天然生物碱, 可作拟副交感神经药(英语:parasympathomimetic)使用,是一种乙酰胆碱酯酶抑制剂(英语
- 剑突胸骨(Sternum)是胸腔中前方一块扁平,剑状的骨,接有肋 。因为其外形如此,故其拉丁文中被名为剑,其三部分为胸骨柄上部的颈静脉切迹(Incisura jugularis)可在体表触及,此乃颈部的下界。
- 微笑。泪李又汝、陈谦文、方文琳、王瞳、余秉谚尔杰国际娱乐《微笑。泪》,2018年台湾电视电影,由李又汝、陈谦文、方文琳、王瞳、余秉谚领衔主演,2018年2月2日开拍,民视无线台于2018年4
- 吡唑吡唑既可以用来指一类简单的芳香杂环有机化合物,它们都是含有五元环,包括三个碳原子和相邻的两个氮原子,也可以用来指这一类化合物的母体,即没有任何取代基。尽管在自然界中很难
- 菌褶蕈褶(英语:lamella, gill),又称菌褶,是担子菌门真菌子实体(担子果)的菌盖内侧的脊状突起,多条脊状突起以蕈柄为中心,一般形成放射状的排列。蕈褶表面有子实层,是担孢子产生之处,子实层
- span class=nowrapRu(NOsub3/sub)sub3/sub/span硝酸钌(III)是一种无机化合物,化学式为Ru(NO3)3。它可用于制备钌碳催化剂。硝酸钌负载在二氧化硅上之后,和一氧化碳反应,根据反应条件的不同,会生成Ru(CO)2(OSi)2、Ru(CO)3(OSi)
- 科学博物馆科学博物馆:主要陈列与科学技术相关展品的博物馆。
- 和平县和平县位于中国广东省东北部,处在东江上游,属于河源市管辖。东边与广东省龙川县相邻,南边与广东省东源县相邻,西边与广东省连平县相邻,北边与江西省龙南县、定南县相连。和平县总