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相关系数
✍ dations ◷ 2025-07-04 11:19:20 #相关系数
在概率论和统计学中,相关(Correlation),显示两个随机变量之间线性关系的强度和方向。在统计学中,相关的意义是用来衡量两个变量相对于其相互独立的距离。在这个广义的定义下,有许多根据数据特点而定义的用来衡量数据相关的系数。英国生物学家和统计学家弗朗西斯·高尔顿首先提出“相关”这一概念,英国数学家卡尔·皮尔逊在此基础上做出了进一步发展。对于不同测量尺度的变数,有不同的相关系数可用:其中,E是数学期望,cov表示协方差,
σ
X
{displaystyle sigma _{X}}
和
σ
Y
{displaystyle sigma _{Y}}
是标准差。因为
μ
X
=
E
(
X
)
{displaystyle mu _{X}=E(X)}
,
σ
X
2
=
E
(
X
2
)
−
E
2
(
X
)
{displaystyle sigma _{X}^{2}=E(X^{2})-E^{2}(X)}
,同样地,对于
Y
{displaystyle Y}
,可以写成当两个变量的标准差都不为零,相关系数才有定义。从柯西-施瓦茨不等式可知,相关系数的绝对值不超过1。当两个变量的线性关系增强时,相关系数趋于1或-1。当一个变量增加而另一变量也增加时,相关系数大于0。当一个变量的增加而另一变量减少时,相关系数小于0。当两个变量独立时,相关系数为0,但反之并不成立。这是因为相关系数仅仅反映了两个变量之间是否线性相关。比如说,X是区间[-1,1]上的一个均匀分布的随机变量。Y = X2.那么Y是完全由X确定。因此Y和X不独立,但相关系数为0。或者说他们是不相关的。当Y和X服从联合正态分布时,其相互独立和不相关是等价的。当一个或两个变量带有测量误差时,他们的相关性就受到削弱,这时,“反衰减”性(disattenuation)是一个更准确的系数。对于居中的数据来说(何谓居中?也就是每个数据减去样本均值,居中后它们的平均值就为0),相关系数可以看作是两个随机变量中得到的样本集向量之间夹角的cosine函数。一些实际工作者更喜欢用非居中的相关系数(与皮尔逊系数不相兼容)。看下面的例子中有一个比较。例如,假设五个国家的国民生产总值分别是1、2、3、5、8(单位10亿美元),又假设这五个国家的贫困比例分别是11%、12%、13%、15%、18%。则我们现在有两个有序的包含5个元素的向量x、y:x =(1, 2, 3, 5, 8)、 y =(0.11, 0.12, 0.13, 0.15, 0.18)
使用一般的方法来计算向量间夹角(参考数量积),未居中的相关性系数如下:上面的数据实际上是故意选择了一个完美的线性关系:y = 0.10 + 0.01 x。因此皮尔逊相关系数应该就是1。把数据居中(x中数据减去E (x) = 3.8,y中数据减去E (y) = 0.138)后得到:x =(−2.8, −1.8, −0.8, 1.2, 4.2)、y =(−0.028, −0.018, −0.008, 0.012, 0.042),由此得到了预期结果:相关系数的计算过程可表示为:将每个变量都转化为标准单位,乘积的平均数即为相关系数。两个变量的关系可以直观地用散点图表示,当其紧密地群聚于一条直线的周围时,变量间存在强相关。一个散点图可以用五个统计量来概括。所有x值得平均数,所有x值的SD,所有y值得平均数,所有y值的SD,相关系数r.将第一个变量记为x ,第二个变量记为y ,相关系数为r,则可以通过以下公式:r = 的平均数
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