射影平面

在数学里，射影平面（projective plane）是一个延伸平面概念的几何结构。在普通的欧氏平面里，两条线通常会相交于一点，但有些线（即平行线）不会相交。射影平面可被认为是个具有额外的“无穷远点”之一般平面，平行线会于该点相交。因此，在射影平面上的两条线会相交于一个且仅一个点。

文艺复兴时期的艺术家在发展透视投影的技术中，为此一数学课题奠定了基础。射影平面的典型范例为实射影平面，亦称为“扩展欧氏平面”。此一范例在代数几何、拓扑学及射影几何内都很重要，在各领域内的形式均略有不同，可标计为 PG(2, R)、RP2 或 P₂(R) 等符号。还有许多其他的射影平面，包括无限（如复射影平面）与有限（如法诺平面）之类型。

射影平面是二维射影空间，但并不是所有射影平面都可以嵌入三维射影空间内。射影平面是否能嵌入三维射影空间取决于该平面是否为笛沙格平面。

射影平面由一组线、一组点，以及一个点与线之间的重合关系所组成，并具有以下性质：

第二个条件意指不存在平行线。最后一个条件则排除了“退化”的情况（见下文）。“重合”一词用来强调点与线之间关系的对称性质。因此，使用“点 P 重合线 l”来替代“P 位于 l 上”或“l 通过 P”。

将一般的欧氏平面变换成射影平面的步骤如下：

该扩展结构即为射影平面，并被称为“扩展欧氏平面”或“实射影平面”。上述用来得到射影平面之步骤称之为“投影完备”或投影化（projectivization）。该平面亦可由将 R3 视为向量空间来建构（见下文）。

以一般的坐标表示，所有莫尔顿平面的点都是欧氏平面上的点。要从欧氏平面造出莫尔顿平面，有些线须被重新定义。亦即，部分点组成的集合将会改变，但其他的线则会维持不变。重新定义所有具负斜率的线，使这些线上的点在负x坐标（y轴左边）时维持原来的点，但在正x坐标（y轴右边）时以具相同的y轴截点但为两倍斜率之线上的点取代之，看起来就像是个“弯曲”的线。

莫尔顿平面有平行线，且为仿射平面。该平面可被投影化，如同前面的例子一般，以获得“投影莫尔顿平面”。笛沙格定理不论是在莫尔顿平面或投影莫尔顿平面上都不是个有效的定理。

此一范例只有13个点及13条线，点标记为 P₁、…、P₁₃，而线则标记为 m₁、…、m₁₃。其重合关系（哪个点在哪条线上）可由以下重合矩阵给出。该矩阵的行由点标记，列由线标记。在行 i 及列 j 上的值 1 意指点 P 位于线 m 之上，而 0（此处为了便于阅读而留白）则意指点与线没有重合。该矩阵为霈橘-韦克斯勒范式（Paige-Wexler normal form）。

为证明此一范例符合射影平面的条件，可观察每两行都恰有一个共同的列出现 1（每对不同点会重合唯一条线），且每两列都恰有一个共同的行出现 1 （每对不同线会重合唯一个点）。对许多的可能性，举点 P₁、P₄、P₅ 及 P₈ 为例，都会满足第3个条件。这个范例被称之为“三阶射影平面”。

虽然扩展实平面上的无远穷线似乎与该射影平面上的其他线有不同的性质，但实际并非如此。另一个建构相同射影平面的方法可显示不存在任何一条线能与其他条线（在几何意思上）相区分。在此一建构中，每个实射影平面上的“点”均为通过三维向量空间原点的一维子空间，而射影平面上的“线”则为通过三维空间原点的平面。此一概念可被广义化，并更精确描述如下。

令 K 为任一除环，3 为所有元素为 K 的三元组 = (₀, ₁, ₂) 组成之集合。对 3 内任一非零元素 x，3 内包含 x 的最小子空间（可看作所有透过原点的线内之向量）为 3 的子集

类似地，令 x 与 y 为 3 内线性无关的元素，意即 + = 0 蕴涵 = = 0。3 内包含 x 与 y 的最小子空间（可看作所有通过原点的平面内之向量）为 3 的子集

该二维子空间包含许多通过原点的一维子空间，可透过固定 k 与 l 的数值，并取所得向量的倍数而获得。所选择之 k 与 l 的比例若相同，则会给出相同的线。

在 K 上的射影平面，标记为 PG(2,) 或 P2，由以 3 内一维子空间作为该平面上之点而组成。PG(2,) 内点的子集 L 是 PG(2,) 内的一条线，若存在 3内的二维子空间（由一维子空间组成之集合）恰好为 L。

对此一建构会产生射影平面的证明通常会留为线性代数的练习题。

此一建构的另一种（代数）观点如下。此一射影平面的点等价于集合 3 ∖ {(0, 0, 0)} 与以下等价关系的同余

射影平面上的线可精确定义如上。

PG(2,) 内一点的坐标 (₀, ₁, ₂) 被称为齐次坐标。每个三元组 (₀, ₁, ₂) 均表示 PG(2,) 内被明确定义的点，除了三元组 (0, 0, 0) 没有表示任何点外。须注意，每个在 PG(2,) 内的点均可以被多个三元组所表示。

若 K 是一个拓扑空间，则 P2，会继承透过积、子空间与商空间形成的拓扑结构。

实射影平面 RP2 为将 K 取为实数 R 时产生之射影平面。作为一封闭、不可定向的实二维流形，该平面常被当作拓扑学里的一基本例子。

在此一建构中，考量 R3 内球心在原点的一单位球面。每个在此一建构内三维的线会与球面相交于一对对极点。因为三维的线表示 RP2 内的一点，所以可取该球面上的对极点，得到 RP2 的相同模型。RP2 内的线在对极点的建构之下，则为该球面上的大圆（三维的平面与球面的相交）。上述描述给出椭圆几何的标准模型。

复射影平面 CP2 则为将 K 取为复数 C 时产生之射影平面。该平面是个封闭复二维流形，且因此是个封闭、不可定向的实四维流形。该平面与在其他体上的射影平面均被当作代数几何内的基本例子。

四元射影平面亦被视为一独立的有趣课题。

由韦德伯恩小定理可知，有限除环必定可交换，且为一个体。因此，此一建构的有限例子亦被称为“体平面”。取 K 为一具 = （其中 p 为素数）个元素的有限域，则会产生一个具 2 + + 1 个点的射影平面。该体平面通常标记为 PG(2,)，其中 PG 表示射影几何，“2”为其维度，而 q 则为该平面的“阶”（为任一线上的点之数量减一）。下面所讨论的法诺平面即标记为 PG(2,2)。“有限的范例”一节中所举的例子为射影平面 PG(2,3)。

法诺平面是由具2个元素的体所产生的射影平面，为最小的射影平面，仅具7个点及7条线。在右图中，以小黑点表示7个点，并以6个线段与1圆圈表示7条线。不过，亦可等价地将小黑点视为“线”，并将线段与圆圈视为“点”。这为射影平面内对偶性的一个例子：若线与点互换，其结果仍为射影平面（见下文）。7个点的排列会将共线点（于同一线上的点）换成共线点，这称之为该平面的直射变换或对称性。一几何的直射变换会形成一个在排列下的群，而对法诺平面来说，该群 (PΓL(3,2) = PGL(3,2)) 有168个元素。

笛沙格定理在射影平面上是普遍有效的，当且仅当该平面可由如上述在除环上的三维向量空间所建构。此类平面称之为“笛沙格平面”，因吉拉德·笛沙格而得名。实（或复）射影平面与上述的三阶射影平面均为笛沙格射影平面的例子。无法依此方法建构的射影平面则称为非笛沙格平面，而上面的莫尔顿平面即为一例。PG(2,) 的标记法仅适用于笛沙格平面。

射影平面的子平面是指该平面上点的子集，使其可组成具相同重合关系的射影平面。

理查德·于贝尔·布鲁克于1955年证明下列定理。令 Π 为 N 阶有限射影平面，且具 M 阶的纯子平面 Π₀，则 = 2 或 ≥ 2 + 。

当 N 为完全平方数时，${\displaystyle \sqrt{N}}$) 里，其子平面的阶为有限域 GF() 子域的阶，亦即为 ，其中 i 为 n 的约数。而在非笛沙格平面上，布鲁克定理可给出与子平面的阶有关的唯一讯息。该定理中不等式仍不知其为等式时的条件为何。是否在 N 阶子平面里存在一个 M 阶子平面，使得 2 + = ，这仍是个未解的问题。若此类子平面存在，则必为合数（非素数）阶的射影平面。

法诺子平面是指一个同构于 PG(2,2) 的子平面，该平面为唯一的二阶射影平面。

若考虑法诺平面上的一个“四边形”（4个点，没有3点共线），这些点可决定平面上的6条线。其他3个点（称为该四边形的“对角点”）为这6条线相交于四边形顶点外的其他点。第七条线则包含所有的对角点（通常绘成圆形或半圆形）。

将该子空间以“法诺”为名其实是一种误称。基诺·法诺（1871年-1952年），在发展一套新的欧氏几何公理时，将任一四边形的对角点绝不会共线作为其中的一个公理。这即是所谓的“法诺公理”。不过，法诺子平面其实违反了法诺公理，因此应该被称为“非法诺子平面”，但这个名称没有获得太多人的支持。

在有限笛沙格平面 PG(2,) 里，法诺子平面存在当且仅当 q 为偶数（亦即为2的次方）。此一条件在非笛沙格平面里是不确定的。法诺子平面可能存在于任一6阶以上的非笛沙格平面内，而事实上，在所有曾被找过的非笛沙格平面（无论是奇数或偶数阶）内，均被发现含有法诺子平面。

一个未解的问题为：是否每个非笛沙格平面都含有法诺子平面？

与法诺子平面有关的一个定理为由格里森（Gleason）于1956年提出，为：

欧氏平面的投影化能产生实射影平面。相反的操作，从射影平面开始，移除一条线及所有与该线重合的点，可得到仿射平面。

更形式化地说，仿射空间由一组线、一组点，及一个点与线间的重合关系，并具有下列性质：

第2个条件指存在平行线，并被称为普莱费尔公理。该条件内的“不相交”为“不存在重合两条线的点”之简写。

欧氏平面与莫尔顿平面均为无限仿射平面的例子。有限射影平面在移除一条线或该线上的点后，会形成一个有限仿射平面。有限仿射平面的阶为该平面上任一线的点之数量（其数值会与其由来之射影平面的阶相同）。由射影平面 PG(2,) 形成的仿射平面标记为 AG(2,)。

存在 N 阶射影平面，当且仅当存在 N 阶仿射平面。当只有一个仿射平面为 N 阶时，亦只会有一个射影平面为 N 阶，但反之不一定正确。移除射影平面上不同的线所形成的仿射平面间会同构，当且仅当移除的线在射影平面直射变换群属同一轨道。这些叙述在无限射影平面时亦成立。

K 上的仿射平面 2 可透过将仿射（非齐次）坐标映射至齐次坐标来嵌入 P2，

其像的互补为 (₁, ₂, 0) 形式的点。从刚才所给的嵌入之观点来看，这些点为无穷远点，会构成 P2 内的一条线，即该线由 3 内的平面

所形成，称之为无穷远线。无穷远点是平行为在建构扩展实平面时会增加的“额外”点；其中，点 (₁, ₂, 0)即为所有斜率为 ₂ / ₁ 的线会相交之点。例如，考虑两条在仿射平面 2 上的线

这两条线的斜率均为0且不相交。可透过上述的嵌入将这两条线视为 P2 的子集，但这些子集并不是 P2 的线，还需要在每个子集上加入点 (1, 0, 0)；亦即，让

上面两个集合才是 P2 内的线。ū 由 3 内的平面

所形成；而 ȳ 则由平面

所形成。投影线 ū 与 ȳ 相交于 (1, 0, 0)。事实上，所有在 2 内斜率为 0 的线，当以上述方式投影化后，均会相交于 P2 内的点 (1, 0, 0)。

当一仿射平面不具有 K 为除环之 2 形式时，仍能被嵌入于一射影平面内，但上面所用之建构并无法生效。为执行此类嵌入的一个常用方法涉及扩展仿射坐标的集合，并需作用于更一般的“代数”内。

可建构一个坐标“环”，称之为平面三元环（不是真正的环），对应至任何一个射影平面。该平面三元环不必然是个体或除环，且有许多射影平面不是由除环所建构出的。那些不可由除环建构出来的射影平面称之为非笛沙格平面，且是个活跃的研究领域。凯莱平面为八元数上的一射影平面，该平面即是其中之一，因为八元数无法形成一个除环。

相反地，给定一平面三元环 (R,T)，可建构出一射影平面（见下文）。其之间的关系不是一对一的。射影平面可以与数个非同构的平面三元环有关。三元运算子 T 可用来产业2个在集合 R 上的二元运算子，以如下方式：

若 T(x,m,k) = x•m + k，则称该三元运算子是“线性”的。当射影平面的坐标系确实形成一个环时，一个三元运算子可使用右边的环运算来定义，以产生出一个平面三元环。

此一平面三元坐标环的代数性质可对应至该平面的几何重合性质。例如，笛沙格定理对应至由除环中获得的坐标环，而帕普斯定理则对应至由可交换体中获得的该环。满足帕普斯定理的射影平面一般称为“帕普斯平面”。此外，八元数等不一定具结合律的可除代数对应至穆方平面。

在有限射影平面上，笛沙格定理蕴涵着帕普斯定理此一纯几何叙述目前所得的唯一证明是透过代数的途径。使用韦德伯恩小定理可知道有限除环必定是可交换的。（其相反于任一射影平面上均为真，且可以几何方式证明，但在此叙述中，有限是重要的，因为存在不符合帕普斯定理的无限笛沙格平面。）

使用非齐次坐标与平面三元环描述 (≥ 2) 阶有限射影平面如下：

在这些点上，建构下列的线：

举 N=2 为例，可使用符号 {0,1} 表示2阶的有限域。三元运算子定义为 T(x,m,k) = xm + k，其右边的乘法与加法产生的结果如下：

4条线 : {() 与点 (, + )}，其中 i = 0, 1 : , = 0, 1。

退化平面不符合射影平面定义的第三个条件。退化平面在结构上不够杂复到足以有趣，但不时会作为一般论述的特例出现。共有7个退化平面（（Albert & Sandler 1968））如下：

这7种情形并不是完全独立的，第4种与第5种情形可视为第6种情形之特例，第2种与第3种情形则可分别视为第4种与第5种情形之特例。第7种情形可因此被分成两类退化平面如下（下述表示为有限退化平面之情况，但亦可自然地扩展至无限多）：

1) 对任意多点 ₁, ..., ，及线 ₁, ..., ，

2) 对任意多点 ₁, ..., ，及线 ₁, ..., （点与线的数量一样），

射影平面的直射变换是指该平面映射至该平面，使点映射至点，线映射至线，而会保留重合关系的的一双射；亦即，若 σ 为此一双射，且点 P 在线 m 上，则 Pσ 在 mσ 上。

若 σ 是一射影平面的直射变换，点 P 若 P = Pσ，则称 P 为 σ 的不动点；线 m 若 m = mσ，则称 m 为 σ 的不动线。不动线上的点不一定为不动点，只是这些点在 σ 下的映射值会局限于该线之上。一个直射变换的所有不动点与不动线会形成一个封闭结构，这些点与线组成的系统会符合射影平面定义的第一个与第二个条件，但不一定符合第三个条件。因此，任何一个直射变换的不动点与不动线结构会形成一个射影平面，亦或是一个退化平面。其不动结构会形成一个射影平面的直射变换，称之为平面直射变换。

PG(2,) 的单应性（或投影变换）是指该类射影平面的直射变换，使其为对应之向量空间的线性变换。使用齐次坐标，投影变换可表示成在 K 上可逆 3 × 3 矩阵，使得 = T，其中 x 与 y 为 3 上的点，且 M 为在 K 上可逆 3 × 3 矩阵。若两个矩阵间，一个矩阵可透过乘上一常数标量变换成另一矩阵，则这两个矩阵表示同一投影变换。因此，投影变换所组成的群是一般线性群除以标量矩阵的商群，称之为投影线性群。

PG(2,) 的另一种直射变换可由 K 的自同构导出，称之为自同构直射变换。若 α 为 K 的自同构，则其直射变换由 (x₀,x₁,x₂) → (x₀α,x₁α,x₂α) 给定者，即为一自同构直射变换。射影几何基本定理表示，所有 PG(2,) 的直射变换均为投影变换或自同构直射变换。自同构直射变换为平面直射变换。

射影平面被公理化地定义为一重合结构，有一组点 P、一组线 L，以及决定何点会位于何线上的重合关系 I。当 P 与 L 均仅为集合，两者间的角色可以互换，并定义出一个平面对偶结构。

透过交换“点”与“线”的角色，

可得到对偶结构

其中，I* 为 I 的反关系。

在射影平面里，包含点、线与其之间重合关系的陈述，若是由另一陈述互换“点”与“线”，并作些必要的文法上之调整而得，则称之为该陈述的平面对偶陈述。“两个点会位于唯一条线上”的平面对偶陈述为“两条线会相交于唯一点上”。

若一陈述于射影平面 C 为真，则该陈述的平面对偶亦必须在对偶平面 C* 上为真。因此，“在C上”证明内的每个陈述均可对偶成在“C*上”证明内的每个陈述。

在射影平面 C 内，可证明存在4条线，其中任意3条线都不会共点。对偶此一定理与射影平面定义的前两个公理，可证明平面对偶结构 C* 亦为一射影平面，称之为 C 的对偶平面。

若 C 与 C* 同构，则称 C 为自对偶。任一除环 K 上的射影平面 PG(2,) 均为自对偶。不过，非笛沙格平面有些不是自对偶（如霍尔平面），有些则是（如休斯平面）。

平面对偶原则表示，对偶任一在自对偶射影平面 C 上的定理，会产生另一个在 C 上一样有效的定理。

对偶变换为从射影平面 = (, , I) 至其对偶平面 * = (, , I*) ，并保留其重合关系的一映射。亦即，对偶变换 σ 会将点映射至线，线映射至点 (σ = and σ = ) ，使得若一点 Q 位于一线 m 上（标记为 I ），则 σ I* σ ⇔ σ I σ。一对偶变换若为一同构，则称之为关联。若关联存在，则该射影平面 C 为自对偶。

在除环 K 上的射影平面 PG(2,) 里，对偶亦可称为互反（reciprocity）。此类平面均为自对偶。依据射影几何基本定理，互反由 K 的一个自同构函数与一个直射变换所组成。若互反的自同构为恒等函数，则该互反亦称为投影关联。

两阶关联（对合）亦称为对极（polarity）。若一关联 φ 不是对极，则 φ2 为一非平凡直射变换。

可证明一个射影平面会有相同数量的点与线（有限或无限）。因此，对每个有限射影平面而言，总存在一个整数 ≥ 2，使得该平面有

该整数 N 即称为该射影平面的阶。（另见有限几何的条目。）

利用有限域的向量空间建构，可知存在一个为 = 阶的射影平面，其中 为任一素数幂次。实际上，现在所有已知的有限射影平面，其阶均为素数幂次。

是否存在其他阶的有限射影平面仍是个未解的问题。唯一一个已知在阶上的限制为Bruck–Ryser–Chowla定理，描述若阶 N 同余于1或2模4，则必为两个完全平方数之和。这排除了 N = 6。下一个 N = 10 的例子也已透过大量的电脑运算排除。剩下的什么都还不知道；尤其是，是否存在一个12阶的有限射影平面仍然未决。

另一个存在已久的未决问题为，是否存在一个“素数”阶有限射影平面不是有限域平面（等价地说，是否存在一个素数阶的非笛沙格射影平面）。

N阶射影平面均为斯坦纳系统 S(2,  + 1, 2 +  + 1)。相反地，亦可证明所有具(λ = 2)形式的斯坦纳系统均为射影平面。

N阶相互正交拉丁方阵的数量至多为 − 1，且等式存在当且仅当存在一个 N 阶射影平面。

所有射影平面的分类仍远未完成，但已知部分小阶的结果如下：

射影平面可被视为“几何”维度为2的射影几何。高维射影几何可透过类比于射影平面定义内的重合关系来定义。这些高维射影几何比射影平面更容易“驾驭”，因为有额外的自由度让笛沙格定理于高维几何内可被几何地证明。这意指，与该几何相关之坐标“环”必定为除环 K，且射影几何会同构于由向量空间 +1 建构而成的几何，即 PG(,)。如同前述所给之建构一般，d 维射影空间 PG(,) 的点为 + 1 内通过原点的线，且 PG(,) 内的线会对应至 + 1 内通过原点的平面。实际上，每个 PG(,) 内的 i 维对象（其中 < ）均可对应至 + 1 维向量空间内通过原点的 (i+1) 维向量子空间。射影空间可依序广义化为格拉斯曼空间。

可证明，若笛沙格定理于维度大于2的射影空间内成立，则也必然于所有包含于该空间的平面内成立。因为存在不符合笛沙格定理的射影平面（非笛沙格平面），这些平面无法内嵌至高维射影空间内。只有由向量空间建构的平面 PG(2,) 可出现于高维射影空间内。一些数学原则只在此类射影平面内有效，因此有些关于射影空间的陈述于几何维度为2时，总是必须提及其例外。