正规数

✍ dations ◷ 2025-09-11 12:48:58 #数论,实数

数学上，粗略来说，正规数（）指，数字显示出随机分布，且每个数字出现机会均等的实数。“数字”指的是小数点前有限个数字（整数部分），以及小数点后无穷数字序列（分数部分）。

设是大于1的整数，是实数。考虑以为底的位值记数法中的数字序列。若是以为底的有限数字序列，我们以(,)表示字串在的开首个数字出现次数。数称为以为底正规若对任意长度的字串

（即是说在的数字中找到字串的概率，就像在完全随机生成的数字序列中的一样。）称为正规数（有时称为绝对正规数）如果以任何为底都是正规。

这个概念是由埃米尔·博雷尔在1909年创造。用波莱尔－坎泰利引理，他证明了正规数定理：几乎所有实数是正规的，意思是非正规数集合的勒贝格测度为0。这定理证明存在正规数，但首先给出一个例子的是瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Wacław Sierpiński）。

非正规数集合是不可数的，这个结果容易得出，想法是从每个实数中完全除去一个数字。

钱珀瑙恩数（Champernowne）

是从连结所有自然数的数字而得出的数，它以10为底正规，但可能在某些底不是正规。

克柏兰-尔杜斯常数（Copeland-Erdős）

从连结所有质数的数字而得出的数，也是以10为底正规。

无论在任何底下均没有为正规数的有理数，因为它们的数字序列最终会循环出现。瓦茨瓦夫·谢尔品斯基在1917年给出第一个明确构造的一个正规数。韦罗妮卡·比彻（Verónica Becher）和桑蒂亚戈·菲盖拉(Santiago Figueira)构造一个可计算（英语：Computable number）正规数；柴廷常数 $\Omega$ 是否正规仍不知道。（但基于实验证据，猜想它们很可能是正规数。）证明仍遥不可及：就连哪些数字在这些常数的10进表示法无穷次出现仍不知道。大卫·贝利（David H. Bailey）和理查德·克兰德尔（Richard E. Crandall）在2001年猜想每个无理代数数是正规的，虽没有找到反例，却还没有一个这样的数被证明在每个底都是正规的。

相关

多奈哌齐多奈哌齐（Donepezil），商品名为安理申（Aricept）等，是一种用于治疗阿尔茨海默病的药物。它似乎能有限地改善心理机能和功能。然而，尚未证实服药可改变病程。如果病情没有任何改善，应停
岩相学岩象学（英语：Petrography）是岩石学的一个分支，专注于岩石的详细描述。研究岩相学的人被称为岩象学家（英语：petrographer）。岩石中的矿物含量和组织(texture)的关系被详细的描述。岩
玫瑰金玫瑰金是一种金与铜的贵金属合金，由于颜色艳丽且硬度高于纯金、延展性强，而被用于首饰制造，又被称为粉金、红金和紫金。由于其在19世纪初的俄国被广泛使用，因此也被称为俄罗斯金
董士锡董士锡（1782年－1831年），字晋卿，一字埙甫，江苏武进人，清代词人、学者。嘉庆十八年副贡生，候选直隶州州判。其舅为张惠言，后又娶张惠言之女为妻，日后为常州词派的中坚。因家贫，游走于公卿
政府所在地行政中心又称政府，即“政府所在地／驻地”，包括中央政府和地方政府。通常以城市为载体，如首都、首府、省会、县治等。不同层级的政府可能聚集于同一城市，集中于在同一行政区内，或是
山东高速公路山东高速公路在山东省境内组成一个密集便捷的高速公路网。山东的第一条高速公路是1993年建成的青银高速公路山东段，连接青岛与济南，全长309千米。截至2016年底，山东全省高速公
贝斯·库珀贝斯·贝里·库珀（英语：Besse Berry Cooper，1896年8月26日－2012年12月4日），本名贝斯·贝里·布朗（Besse Berry Brown），美国超级人瑞，职业为教师。自同胞尤尼斯·桑博恩于2011年1月31日
纪贯之纪贯之（きのつらゆき）是日本的平安时代前期的歌人。‘古今和歌集’的选者之一，三十六歌仙之一。纪友则是表兄弟。纪望行之子。延喜5年（905年），受醍醐天皇之命，和纪友则・壬生忠岑・
罗马，不设防的城市《罗马，不设防的城市》（意大利语：；又译：罗马不设防）是意大利导演罗伯托·罗塞里尼于1945年执导的一部意大利电影，描写罗马于1944年在纳粹德国统治下的情况，一般被认为是意大利新现实
白序橐吾白序橐吾（学名：）是菊科橐吾属的植物，是中国的特有植物。分布于中国大陆的云南等地，生长于海拔3,400米至3,520米的地区，一般生长在山坡草地，目前尚未由人工引种栽培。