正规数

✍ dations ◷ 2025-07-27 01:14:33 #数论,实数

数学上，粗略来说，正规数（）指，数字显示出随机分布，且每个数字出现机会均等的实数。“数字”指的是小数点前有限个数字（整数部分），以及小数点后无穷数字序列（分数部分）。

设是大于1的整数，是实数。考虑以为底的位值记数法中的数字序列。若是以为底的有限数字序列，我们以(,)表示字串在的开首个数字出现次数。数称为以为底正规若对任意长度的字串

（即是说在的数字中找到字串的概率，就像在完全随机生成的数字序列中的一样。）称为正规数（有时称为绝对正规数）如果以任何为底都是正规。

这个概念是由埃米尔·博雷尔在1909年创造。用波莱尔－坎泰利引理，他证明了正规数定理：几乎所有实数是正规的，意思是非正规数集合的勒贝格测度为0。这定理证明存在正规数，但首先给出一个例子的是瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Wacław Sierpiński）。

非正规数集合是不可数的，这个结果容易得出，想法是从每个实数中完全除去一个数字。

钱珀瑙恩数（Champernowne）

是从连结所有自然数的数字而得出的数，它以10为底正规，但可能在某些底不是正规。

克柏兰-尔杜斯常数（Copeland-Erdős）

从连结所有质数的数字而得出的数，也是以10为底正规。

无论在任何底下均没有为正规数的有理数，因为它们的数字序列最终会循环出现。瓦茨瓦夫·谢尔品斯基在1917年给出第一个明确构造的一个正规数。韦罗妮卡·比彻（Verónica Becher）和桑蒂亚戈·菲盖拉(Santiago Figueira)构造一个可计算（英语：Computable number）正规数；柴廷常数 $\Omega$ 是否正规仍不知道。（但基于实验证据，猜想它们很可能是正规数。）证明仍遥不可及：就连哪些数字在这些常数的10进表示法无穷次出现仍不知道。大卫·贝利（David H. Bailey）和理查德·克兰德尔（Richard E. Crandall）在2001年猜想每个无理代数数是正规的，虽没有找到反例，却还没有一个这样的数被证明在每个底都是正规的。

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