正规数

✍ dations ◷ 2025-06-29 23:21:49 #数论,实数

数学上,粗略来说,正规数()指,数字显示出随机分布,且每个数字出现机会均等的实数。“数字”指的是小数点前有限个数字(整数部分),以及小数点后无穷数字序列(分数部分)。

设是大于1的整数,是实数。考虑以为底的位值记数法中的数字序列。若是以为底的有限数字序列,我们以(,)表示字串在的开首个数字出现次数。数称为以为底正规若对任意长度的字串

(即是说在的数字中找到字串的概率,就像在完全随机生成的数字序列中的一样。)称为正规数(有时称为绝对正规数) 如果以任何为底都是正规。

这个概念是由埃米尔·博雷尔在1909年创造。用波莱尔-坎泰利引理,他证明了正规数定理:几乎所有实数是正规的,意思是非正规数集合的勒贝格测度为0。这定理证明存在正规数,但首先给出一个例子的是瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基(Wacław Sierpiński)。

非正规数集合是不可数的,这个结果容易得出,想法是从每个实数中完全除去一个数字。

钱珀瑙恩数(Champernowne)

是从连结所有自然数的数字而得出的数,它以10为底正规,但可能在某些底不是正规。

克柏兰-尔杜斯常数(Copeland-Erdős)

从连结所有质数的数字而得出的数,也是以10为底正规。

无论在任何底下均没有为正规数的有理数,因为它们的数字序列最终会循环出现。瓦茨瓦夫·谢尔品斯基在1917年给出第一个明确构造的一个正规数。韦罗妮卡·比彻(Verónica Becher)和桑蒂亚戈·菲盖拉(Santiago Figueira)构造一个可计算(英语:Computable number)正规数;柴廷常数 Ω {\displaystyle \Omega } 是否正规仍不知道。(但基于实验证据,猜想它们很可能是正规数。)证明仍遥不可及:就连哪些数字在这些常数的10进表示法无穷次出现仍不知道。大卫·贝利(David H. Bailey)和理查德·克兰德尔(Richard E. Crandall)在2001年猜想每个无理代数数是正规的,虽没有找到反例,却还没有一个这样的数被证明在每个底都是正规的。

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