共变和反变

在数学里，反变（contravariant，也称逆变）和共变（covariant，也称协变）描述一个向量（或更广义来说，张量）的坐标，在向量空间的基底／坐标系转换之下，会如何改变。

反变和共变在张量场的演算中不可或缺，是了解狭义相对论、广义相对论必需的数学基础。

（注：${\displaystyle v^2}$ 这符号中的上标${\displaystyle 2}$不代表平方，而是代表第二个坐标，在较基础的数学上，常写作 ${\displaystyle v_2}$ ，但是，在张量分析领域，指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示，以及爱因斯坦求和约定。）

向量空间${\displaystyle V}$有另一个基底${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathbf{e}}}_1,...,{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathbf{e}}}_n}$，其坐标系统为${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}^1,...,{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}^n}$。对应这个基底，${\displaystyle \mathbf{v}}$ 有分量 ${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{v}}^1,{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{v}}^2,...,{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{v}}^n}$，即${\displaystyle \mathbf{v}=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{v}}^i{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathbf{e}}}_i}$。

对于1...n之间任意整数 ${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$ ，我们知道 ${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{v}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 和 ${\displaystyle v^1,v^2,...,v^n}$ 的关系：

使用爱因斯坦求和约定可写成：

假设对偶空间${\displaystyle V^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$有两个基底 ${\displaystyle {\mathbf{d}\mathbf{x}}^1,{\mathbf{d}\mathbf{x}}^2,...,{\mathbf{d}\mathbf{x}}^n}$跟${\displaystyle {\mathbf{d}\stackrel{\mathbf{¯<!--\; ¯\; -->}}{\mathbf{x}}}^1,{\mathbf{d}\stackrel{\mathbf{¯<!--\; ¯\; -->}}{\mathbf{x}}}^2,...,{\mathbf{d}\stackrel{\mathbf{¯<!--\; ¯\; -->}}{\mathbf{x}}}^n}$ 。:289-297

假设${\displaystyle \mathit{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->V^{\ast <!--\; \ast \; -->},\mathit{\omega <!--\; \omega \; -->}=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_i{\mathbf{d}\mathbf{x}}^i=\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}}_{j}d{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathbf{x}}}^j}$。则对于${\displaystyle 1}$...${\displaystyle n}$之间其中一个特定的整数 ${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$ ，我们知道 ${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_1,{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_2,...,{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_n}$ 的关系：

或使用爱因斯坦求和约定写成：

在欧几里得空间 ${\displaystyle V}$ 里，共变向量和反变向量之间的区分很小。这是因为能够使用内积运算从向量求得余向量；对于所有余向量 ${\displaystyle \mathbf{w}}$ ，通过下述方程，向量 ${\displaystyle \mathbf{v}}$ 和线性泛函 ${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathbf{w})}$ ，唯一地确定了余向量 ${\displaystyle \mathbf{w}}$ ：

逆过来，通过上述方程，线性泛函 ${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathbf{w})}$ 和每一个余向量，唯一地确定了向量 ${\displaystyle \mathbf{v}}$ 。由于这向量与余向量的相互辨认，我们可以提到向量的共变分量和反变分量；也就是说，它们只是同样向量对于基底和其对偶基底的不同表现。

给予 ${\displaystyle V}$ 的一个基底 ${\displaystyle \mathfrak{f}=(X_1,X_2,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n)}$ ，则必存在一个唯一的对偶基底 ${\displaystyle {\mathfrak{f}}^{\mathrm{♯<!--\; ♯\; -->}}=(Y^1,Y^2,\dots <!--\; \dots \; -->,Y^n)}$ ，满足

其中，${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_j^i}$ 是克罗内克函数。

以这两种基底，任意向量 ${\displaystyle \mathbf{v}}$ 可以写为两种形式

其中，${\displaystyle v^i}$ 是向量 ${\displaystyle \mathbf{v}}$ 对于基底 ${\displaystyle \mathfrak{f}}$ 的反变分量，${\displaystyle v_i}$ 是向量 ${\displaystyle \mathbf{v}}$ 对于基底 ${\displaystyle \mathfrak{f}}$ 的共变分量，

在欧几里得空间Ｒ3里，使用内积运算，能够从向量求得余向量。给予一组可能不是标准正交基的基底，其基底向量为 ${\displaystyle {\mathbf{e}}_1}$ 、${\displaystyle {\mathbf{e}}_2}$ 、${\displaystyle {\mathbf{e}}_3}$ ，就可以计算其对偶基底的基底向量：

其中，${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}={\mathbf{e}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->({\mathbf{e}}_2\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{e}}_3)}$ 是三个基底向量 ${\displaystyle {\mathbf{e}}_1}$ 、${\displaystyle {\mathbf{e}}_2}$ 、${\displaystyle {\mathbf{e}}_3}$ 所形成的平行六面体的体积。

反过来计算，

其中，${\displaystyle {\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime }={\mathbf{e}}^1\cdot <!--\; \cdot \; -->({\mathbf{e}}^2\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{e}}^3)=1/\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$ 是三个基底向量 ${\displaystyle {\mathbf{e}}^1}$ 、${\displaystyle {\mathbf{e}}^2}$ 、${\displaystyle {\mathbf{e}}^3}$ 所形成的平行六面体的体积 。

虽然 ${\displaystyle {\mathbf{e}}_i}$ 与 ${\displaystyle {\mathbf{e}}^j}$ 并不相互标准正交，它们相互对偶：

这样，任意向量 ${\displaystyle \mathbf{a}}$ 的反变坐标为

类似地，共变坐标为

这样， ${\displaystyle \mathbf{a}}$ 可以表达为

或者，

综合上述关系式，

向量 ${\displaystyle \mathbf{a}}$ 的共变坐标为

其中，${\displaystyle g_{ji}={\mathbf{e}}_j\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{e}}_i}$ 是度规张量。

向量 ${\displaystyle \mathbf{a}}$ 的反变坐标为

其中，${\displaystyle g^{ji}={\mathbf{e}}^j\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{e}}^i}$