帕克斯-麦克莱伦算法

✍ dations ◷ 2024-12-23 14:08:24 #滤波器理论,数字信号处理

帕克斯-麦克莱伦算法（英语：Parks–McClellan algorithm），为一个用以设计优化有限脉冲响应滤波器（finite impulse response filter）的迭代算法，由James McClellan和Thomas Parks于1972年的著作中提出。

此算法的主要精神，在于利用迭代的方式最小化滤波器在通带(pass band)和止带(stop band)的最大误差，因此有时也称为最小化最大误差算法(Mini-max filter design)。由于帕克斯-麦克莱伦算法也属于Remez-exchange algorithm为了设计有限脉冲响应滤波器而产生的一种变形，因此也有人以Remez-exchange algorithm代称。

有限脉冲响应滤波器(finite impulse response filter)利用有限的点数来表示滤波器的脉冲响应，对于N点有限脉冲响应滤波器

$h=0,\;for\;n<0\;and\;n\geq N,\;N\,is\,a\,finite\;number$ $h=0,\;for\;n<0\;and\;n\geq N,\;N\,is\,a\,finite\;number$

有限脉冲响应滤波器的优点在于脉冲响应是有限的，使得设计上较为简单。然而如何在有限的点数下，设计出效果最近似于理想目标的滤波器，则是帕克斯-麦克莱伦算法所欲解决的问题。

对于滤波器设计，帕克斯-麦克莱伦算法的精神在于最小化最大误差。在忽略通带与止带之间转换带(transition band)的情况下，最小化通带与止带的最大误差： ${\underset {f}{\operatorname {Max} }}\left|H(f)-H_{d}(f)\right|$ ${\underset {f}{\operatorname {Max}}}\left|H(f)-H_{d}(f)\right|$

其中 $H(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }he^{-j2\pi Fn}$ $H(f)=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}he^{{-j2\pi Fn}}$ 为设计滤波器的频率响应，F为正规化频率(normalized frequency)， $H_{d}(f)$ $H_{d}(f)$ 则为理想目标滤波器的频率响应。

滤波器设计时，可利用weighting function将较重要的频带比重放大。如此一来，在利用帕克斯-麦克莱伦算法设计滤波器时，则会较重视比重较大频带的误差。

若在加入weighting function情况下，可将帕克斯-麦克莱伦算法一般化。此时的最大误差则可表示为： ${\underset {f}{\operatorname {Max} }}\left|W(f)\left\right|$ ${\underset {f}{\operatorname {Max}}}\left|W(f)\left\right|$

下面的文章将说明如何以该算法设计优化滤波器，假设

此算法共分为6个步骤：

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