魏尔斯特拉斯-恩内佩尔曲面

✍ dations ◷ 2025-04-03 10:48:14 #极小曲面,曲面,微分几何

在微分几何中,魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化(WE曲面、魏恩曲面、Weierstrauss-Enneper surfaces)是二维极小曲面的参数化。

它以恩内佩尔(Enneper)和魏尔斯特拉斯的名字命名。他们在1863年发现了这个参数化。

设 f 是解析函数、g 是亚纯函数、2 是 全纯函数、1, 2, 3 是常数。若(1,2,3)是曲面M的坐标以及

x k ( ζ ) = R e { 0 ζ φ k ( z ) d z } + c k , k = 1 , 2 , 3 φ 1 = f ( 1 g 2 ) / 2 φ 2 = i f ( 1 + g 2 ) / 2 φ 3 = f g {\displaystyle {\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=Re\left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2}&{}=if(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}}

则M是极小流形。逆命题也是事实:若曲面M有上面的参数化,则M是极小的。

比方说,恩内佩尔曲面具有 f ( z ) = 1 ,   g ( z ) = z m {\displaystyle f(z)=1,\ g(z)=z^{m}}

Costa曲面(英语:Costa surface)使用魏尔斯特拉斯椭圆函数。

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