巴拿赫-塔斯基定理

巴拿赫-塔斯基定理（Banach–Tarski paradox，或称豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基定理，又名“分球怪论”），是一条数学定理。1924年，斯特凡·巴拿赫和阿尔弗雷德·塔斯基首次提出这一定理，指出在选择公理成立的情况下，可以将一个三维实心球分成有限（不可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。

巴拿赫和塔斯基提出这一定理原意是想拒绝选择公理，但该证明很自然，因此数学家认为这仅意味着选择公理可以导致少数令人惊讶和反直觉的结果。有些叙述中这条定理被看成是悖论，但是定理本身没有逻辑上不一致的地方，实际上不符合悖论的定义。

设和是欧几里得空间的两个子集。如果它们可以分为有限个不相交子集的并集，形如${\displaystyle A={\cup <!--\; \cup \; -->}_{i=1}^n{A}_i}$和的自由群由所有含有、、-1和-1这些符号的有限字符串组成，其中没有紧挨着-1或者紧挨着-1这种现象。两个这样的字符串可以连接在一起，只要将紧挨着的和-1抵销掉（对b一样）。例如-1-1连接到-1得到-1-1-1，并可化简为-1。我们可以验证这些字符串在这个操作下构成一个群，其单位元是空串${\displaystyle e}$()为所有以开头的字符串，同理定义(-1)、()和(-1)。很明显

并且

（(-1)表示从(-1)取出所有字符串，并在左边连接上一个，之后所得的所有字符串）证明的关键就在这里了。简而言之，现在我们已经将${\displaystyle F_2}$或者来“旋转”它们，其中两个“重新组合”成${\displaystyle F_2}$是绕第一条轴旋转arccos(1/3)弧度而是绕另一条轴旋转arccos(1/3)弧度。（这一步骤可在二维上完成。）有些琐碎但不太难的是证明这两种旋转的行为正如${\displaystyle F_2}$和两个元素的行为一样，这里就略去。由和所生成的这个旋转群命名为H。当然，我们可以按照第一步所述方法对H进行分割。

第三步，单位球面2可被群H中的操作分成一些轨道：两个点属于同一个轨道当且仅当H中某个旋转将第一个点移到第二个。我们可以利用选择公理在每个轨道中选出来一个点。将这些点合起来组成集合。现在2中(几乎)所有点都可以通过H中合适的元素相应的转动移到中。因此，H的分割也就可以应用到2上面去。

第四步，最后，将每个2的点连到原点，对2的分割便可以应用到实心单位球上去。（球心处会有些特殊，但这个简要证明中忽略它。）

总结，这个简要证明到此结束。H中有些旋转会刚好对应于刚好一些特殊的轴线，这时需要加以特殊处理。但一方面，这些情况的总数是可数的因此没有影响，另一方面，即使相关的这些点也是可以加以修正以符合定理的。对球心点这个特殊点以上同样适用。