有限环

✍ dations ◷ 2025-06-29 22:29:55 #环论,抽象代数

在数学,特别是抽象代数,有限环(Finite ring)是一个环(不一定有乘法的单位元)元素的数量有限的环。每一个有限域是有限环的一个特例,每一个有限环的加法群,是一个有限阿贝尔群,有限环的概念是比较新的。

1964年在《美国数学月刊》上,大卫·辛马斯特(David Singmaster)提出了以下问题:“(1)不是域的非平凡有单位元环有何种结构,已经找出两个这种四阶环,还有不同的四阶环吗?(2)四阶环有多少?”

一个解决方案由D.M. 布鲁姆(D.M. Bloom)在《美国数学月刊》(71:919-20)证明,得出结论:有11个四阶环,其中四个有乘法单位元。事实上,四阶环种类多少介绍了问题的复杂性,在四阶群的一类四阶循环群C4上有三种四阶环,在在四阶群的另一类克莱因四元群上有八种四阶环。

在同一杂志《美国数学月刊》(75:512-14)的由K.艾尔德瑞志(K. Eldrige)在1968年对有限环的非交换性得出两个定理:如果有单位元1的有限环的阶有一个3次分解,它是可交换的。非交换有单位元1的有限环,如果是一个素数P的3次方,那么这环同构于这素数的伽罗瓦域的上三角2×2矩阵环。

由R.雷格哈文德拉(R. Raghavendra)在1969年对素数P的3次阶方的环的研究得到了进一步发展。在1973年罗伯特·吉尔默和乔·莫特也发表了论文《素数p的3次阶方的结合环》。弗洛尔和威森鲍尔对素数P的3次阶方的环又有推进(1975),明确的结论是通过同构类来进行的。由V.G.安提普金和V.P.艾利查洛夫(1982)写在《西伯利亚数学杂志》(23:457-64)。他们证明:p > 2,数目是p3+50。综上环结构的研究已有成果如下:凡素阶环都2个凡两素素乘阶环都4个凡素阶环平方都11个凡素阶环平方与一素数乘阶都22个8阶环52个大于是的素数3次方阶环个数为3p + 50

对于环R的任一元素r,如果存在大于1的正整数n,使得下式成立,则必为交换环:n > 1 如果 rn = r, 则必为交换环。

另一方面,有限单群分类定理是二十世纪数学的一个重大突破,其证明跨越成千上万的杂志页面,这重大突破使有限环的分类难度大为降低。

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