康托展开

✍ dations ◷ 2025-08-21 15:13:37 #康托展开

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。

以下称第x个全排列都是指由小到大的顺序。

${displaystyle X=a_{n}(n-1)!+a_{n-1}(n-2)!+cdots +a_{1}cdot 0!}$ ${displaystyle X=a_{n}(n-1)!+a_{n-1}(n-2)!+cdots +a_{1}cdot 0!}$

其中, ${displaystyle a_{i}}$ $a_{i}$ 为整数,并且 ${displaystyle 0leq a_{i}<i,1leq ileq n}$ ${displaystyle 0leq a_{i}<i,1leq ileq n}$ 。

${displaystyle a_{i}}$ $a_{i}$ 的意义参见举例中的解释部分

例如，3 5 7 4 1 2 9 6 8 展开为 98884。因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.

解释：

排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8!个，因此第一项为2*8!

排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7!个，因此第二项为3*7!

以此类推，直至0*0!

显然，n位（0~n-1）全排列后，其康托展开唯一且最大约为n!，因此可以由更小的空间来储存这些排列。由公式可将X逆推出唯一的一个排列。

既然康托展开是一个双射，那么一定可以通过康托展开值求出原排列，即可以求出n的全排列中第x大排列。

如n=5,x=96时：

首先用96-1得到95，说明x之前有95个排列.(将此数本身减去1)用95去除4! 得到3余23，说明有3个数比第1位小，所以第一位是4.用23去除3! 得到3余5，说明有3个数比第2位小，所以是4，但是4已出现过，因此是5.用5去除2!得到2余1，类似地，这一位是3.用1去除1!得到1余0，这一位是2.最后一位只能是1.所以这个数是45321.

按以上方法可以得出通用的算法。

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