模糊函数与韦格纳分布的关系

模糊函数(Ambiguity function,AF):
${\displaystyle A{F}_s(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}s\left(t+\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2}\right)s^{\ast <!--\; \ast \; -->}\left(t-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2}\right)e^{-<!--\; -\; -->j\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}t}dt}$韦格纳分布(Wigner distribution,WD):
${\displaystyle W{D}_s(t,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}s\left(t+\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2}\right)s^{\ast <!--\; \ast \; -->}\left(t-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2}\right)e^{-<!--\; -\; -->j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$

一个讯号s(t)，自相关函数为${\displaystyle R(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}s(t)s^{\ast <!--\; \ast \; -->}(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})dt}$如果${\displaystyle R(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$为时间相依性(time-dependent)，则时间相依自相关(time-dependent auto-correlation)为${\displaystyle R(t,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$，时间相依(时变)频谱(time-dependent spectrum)可以表示的形式类似于传统的功率谱，即对时间相依自相关函数做傅立叶变换。
${\displaystyle P(t,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}R(t,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})e^{-<!--\; -\; -->j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$
不同的时间相依自相关会导致不同的时间相依功率谱。
如果${\displaystyle R(t,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=s\left(t+\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2}\right)s^{\ast <!--\; \ast \; -->}\left(t-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2}\right)}$ ，则时间相依功率谱变成为Wigner distribution
若对${\displaystyle R(t,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$中的t做傅立叶逆转换，得到另一个时频表示，对称模糊函数(symmetric ambiguity function,SAF)
${\displaystyle SA{F}_s(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}s\left(t+\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2}\right)s^{\ast <!--\; \ast \; -->}\left(t-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2}\right)e^{j\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}t}dt}$模糊函数反映信号在时间和相位的相关性，并已广泛应用在雷达和声纳系统上。给一个对称模糊函数${\displaystyle SA{F}_s(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$，透过傅立叶变换可以得到时间相依自相关:
${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}SA{F}_s(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})e^{-<!--\; -\; -->j\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}t}d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=s\left(t+\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2}\right)s^{\ast <!--\; \ast \; -->}\left(t-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2}\right)}$由上式可以推得
${\displaystyle W{D}_s(t,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}SA{F}_s(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})e^{-<!--\; -\; -->j(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}t)}d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$
也就是对对称模糊函数做两次傅立叶变换可以得到Wigner distribution

一个讯号为两个Gaussian函数的和:
${\displaystyle s(t)=\underset{i=1}{\overset{2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{s}_i(t)=\underset{i=1}{\overset{2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\sqrt[4]{\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}(t-<!--\; -\; -->t_i{)}^2+j{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{i}t}}$
${\displaystyle \Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->SA{F}_s(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\underset{i=1}{\overset{2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}SA{F}_{si}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})+SA{F}_{s1,s2}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})+SA{F}_{s2,s1}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$

从范例中得知一项重要事实，即为，在模糊域(ambiguity domain)中的auto-term总是集中在原点(0,0)，而cross-term总是在远离原点处，所以可以用一个2D lowpass filter在模糊域中抑制cross-term的干扰，如下:
${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}SA{F}_s(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})e^{-<!--\; -\; -->j(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}t+\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$ ,其中${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$为2D lowpass filter

如果${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$，则
${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}SA{F}_s(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})e^{-<!--\; -\; -->j(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}t+\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$
${\displaystyle ={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x,y)W{D}_s(t-<!--\; -\; -->x,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}-<!--\; -\; -->y)dxdy=SWD(t,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$

通常${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$( 和${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$ )当作kernal function，用来控制SWD的特性。

若Wigner分布和对称模糊函数用大小(magnitude)及相位(phase)表示，如下:
${\displaystyle W{D}_{s1,s2}(t,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=A_{WD}(t,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})e^{j{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{WD}(t,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}}$
${\displaystyle SA{F}_{s1,s2}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=A_{SAF}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})e^{j{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{SAF}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}}$
而${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{SAF}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=-<!--\; -\; -->t_u}$ , ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{SAF}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_u}$
也就是说对对称模糊函数的相位做偏微分，会等于Wigner分布的时频(time-frequency)中心。
相反地，${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{WD}(t,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=t_d}$ , ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{WD}(t,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_d}$
则为对Wigner分布的相位做偏微分，会等于对称模糊函数的中心。

如果${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0}$，则
${\displaystyle SA{F}_{s1,s2}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=e^{-<!--\; -\; -->}{e}^{j({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}{t}_u)}}$
会集中在${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$轴上。

如果${\displaystyle t_1=t_2=t_0}$，则
${\displaystyle SA{F}_{s1,s2}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=e^{-<!--\; -\; -->}{e}^j}$
会集中在${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$轴上。