波利亚计数定理

✍ dations ◷ 2025-10-21 16:13:20 #组合数学

波利亚计数定理(英语:Pólya enumeration theorem,简称PET)用来研究不同着色方案的计数问题,它是组合数学中的一个重要的计数公式,是伯恩赛德引理的一般化,由波利亚·哲尔吉在1937年的论文中提出并被广泛应用,该结果首先由John Howard Redfield在1927年发表,但当时很少有人能理解,十年后由波利亚独立重新发现。对于含n个对象的置换群G,用t种颜色着色的不同方案数为:

其中 G = a 1 , a 2 , . . . , a g , c ( a k ) {\displaystyle G={a_{1},a_{2},...,a_{g}},c(a_{k})} 为置换 a k {\displaystyle a_{k}} 的循环指标(Cycle index)数目。

设对n个对象用m种颜色: b 1 , b 2 , , b m {\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots ,b_{m}} 着色。设

m c ( p i ) = ( b 1 + b 2 + + b m ) c 1 ( p i ) ( b 1 2 + b 2 2 + + b m 2 ) c 2 ( p i ) ( b 1 n + b 2 n + + b m n ) c n ( p i ) {\displaystyle m^{c(p_{i})}=(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{m})^{c_{1}(p_{i})}(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots +b_{m}^{2})^{c_{2}(p_{i})}\cdots (b_{1}^{n}+b_{2}^{n}+\cdots +b_{m}^{n})^{c_{n}(p_{i})}} ,其中 c j ( p i ) {\displaystyle c_{j}(p_{i})} 表示置换群中第i个置换循环长度为j的个数。

S k = ( b 1 k + b 2 k + + b m k ) , k = 1 , 2 , n {\displaystyle S_{k}=(b_{1}^{k}+b_{2}^{k}+\cdots +b_{m}^{k}),k=1,2\cdots ,n} ,则波利亚计数定理的母函数形式为:

P ( G ) = 1 G j = 1 g Π k = 1 n S k c k ( p j ) {\displaystyle P(G)={\frac {1}{\mid G\mid }}\sum _{j=1}^{g}\Pi _{k=1}^{n}S_{k}^{c_{k}(p_{j})}}

波利亚计数定理只是给出计数,但没有给出相应的方案,而母函数形式的波利亚计数定理可以给出相应的方案。

使用两种颜色对正方体的六个面的面染色,不同的染色方案数有:

甲烷CH4的4个键任意用H(氢),Cl(氯),CH3(甲基), C2H5(乙基) 连接,有多少种方案? 

甲烷的结构为正四面体,设四面体的四个顶点分别为A、B、C、D,将正四面体的转动群按转动轴分类情况如下:

根据波利亚计数定理可得:

1 12 ( 4 4 + 8 × 4 2 + 3 × 4 2 )   = 36 {\displaystyle {\frac {1}{12}}\left(4^{4}+8\times 4^{2}+3\times 4^{2}\right)\ =36}

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