麦克斯韦应力张量

在电磁学里，麦克斯韦应力张量(Maxwell stress tensor)是描述电磁场带有之应力的二阶张量。麦克斯韦应力张量可以表现出电场力、磁场力和机械动量之间的相互作用。对于简单的状况，例如一个点电荷自由地移动于均匀磁场，应用洛伦兹力定律，就可以很容易地计算出点电荷所感受的作用力。但是，当遇到稍微复杂一点的状况时，这很普通的程序会变得非常困难，方程洋洋洒洒地一行又一行的延续。因此，物理学家通常会聚集很多项目于麦克斯韦应力张量内，然后使用张量数学来解析问题。

为了方便参考，先列出麦克斯韦方程组：

其中，${\displaystyle \mathbf{E}}$ 是电场，${\displaystyle \mathbf{B}}$ 是磁场，${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$ 是电荷密度，${\displaystyle \mathbf{J}}$是电流密度，${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}$ 是电常数，${\displaystyle {\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0}$ 是磁常数。

从洛伦兹力定律开始，一个电荷分布所感受到的单位体积的作用力 ${\displaystyle \mathbf{f}}$ 是

应用高斯定律和麦克斯韦-安培定律，把电荷密度和电流密度替换掉，只让电场和磁场出现于方程：

应用乘积法则和法拉第感应定律：

稍加编排，将 ${\displaystyle \mathbf{f}}$ 写为

为了使 ${\displaystyle \mathbf{E}}$ 的项目 ${\displaystyle \mathbf{B}}$ 的项目能够相互对称，加入一个 ${\displaystyle \mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{B}=0}$ 项目：

应用矢量恒等式，对于任意矢量 ${\displaystyle \mathbf{A}}$

将 ${\displaystyle \mathbf{f}}$ 的方程内的旋度项目除去：

这方程最右边项目涉及了坡印亭矢量 ${\displaystyle \mathbf{S}}$ ：

设定麦克斯韦应力张量 ${\displaystyle \stackrel{⟷<!--\; ⟷\; -->}{\mathbf{T}}}$ （以英文字母上面加两只箭矢符号来标记二阶张量）：

其中，${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}}$ 是克罗内克函数。

定义一个矢量 ${\displaystyle \mathbf{A}}$ 与麦克斯韦应力张量 ${\displaystyle \stackrel{⟷<!--\; ⟷\; -->}{\mathbf{T}}}$ 的内积为

那么，一个电荷分布所感受到的单位体积的作用力 ${\displaystyle \mathbf{f}}$ 是

麦克斯韦应力张量是一个对称张量，表达为

麦克斯韦应力张量的单位是牛顿／米2。麦克斯韦应力张量的 ij 元素诠释为，朝着 i-轴方向，施加于 j-轴的垂直平面，单位面积的作用力；对角元素代表负压力，非对角元素代表剪应力。对角元素给出张力（拖拉力）作用于其对应轴的垂直面微分元素。不同于理想气体因为压力而施加的作用力，在电磁场内的一个面元素也会感受到方向不垂直于其面的剪应力。这是由非对角元素给出的。

在一个体积 ${\displaystyle \mathcal{V}}$ 内的电荷，所感受到的总作用力 ${\displaystyle \mathbf{F}}$ 是

应用散度定理，可以得到

其中，${\displaystyle \mathcal{S}}$ 是体积 ${\displaystyle \mathcal{V}}$ 的闭合表面。

根据牛顿第二定律，

其中，${\displaystyle \mathbf{p}}$ 是动量。

所以，电荷的动量 ${\displaystyle {\mathbf{p}}_{charge}}$ 可以表达为

其中，${\displaystyle {\mathbf{p}}_{em}={\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0{\oint <!--\; \oint \; -->}_{\mathcal{V}}\mathbf{S}\mathrm{d}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$ 是储存于电磁场的动量（坡印亭矢量 ${\displaystyle \mathbf{S}}$ 是由电场和磁场组成的一个复合矢量）。

稍加编排，可以得到动量守恒定律的积分方程：

动量守恒定律阐明，一个体积的总动量（电荷的动量加上电磁场的动量）的增加速率等于每秒钟流入闭合表面的动量。负的麦克斯韦应力张量 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->}$${\displaystyle \stackrel{⟷<!--\; ⟷\; -->}{\mathbf{T}}}$ 是一个动量通量密度。

动量守恒定律也能以微分形式表达为

其中，${\displaystyle {\mathfrak{p}}_{charge}}$ 是电荷的动量密度，${\displaystyle {\mathfrak{p}}_{em}}$ 是电磁场的动量密度。