球 (数学)

✍ dations ◷ 2025-04-02 08:36:48 #几何术语,拓扑学,度量几何,欧几里得几何

在数学里,球是指球面内部的空间。球可以是封闭的(包含球面的边界点,称为闭球),也可以是开放的(不包含边界点,称为开球)。

球的概念不只存在于三维欧氏空间里,亦存在于较低或较高维度,以及一般度量空间里。 n {\displaystyle n\,\!} 点周围的一个球”代表包含 的一个开集。该集合同胚于什么依赖于背景拓扑空间以及所选取的开集。同样,“闭球”有时用于表示这样一个开集的闭包。(这可能产生误导,例如超度量空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包,它们都是既开且闭的。)

有时,邻域用于指代这个意义上的球,但是邻域其实有更一般的意义: 的一个邻域是任何包含一个 的开集的集合,因此通常不是开集。

X 内的 n 维(开或闭)拓扑球是指 X 内同胚于 n 维(开或闭)欧几里得球的任一子集,该子集不一定需要由某个度量导出。n 维拓扑球在组合拓扑学里很重要,为建构胞腔复形的基础。

任一 n 维开拓扑球均同胚于笛卡尔空间 Rn 及 n 维开单位超方形 ( 0 , 1 ) n R n {\displaystyle (0,1)^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 。任一 n 维闭拓扑球均同胚于 n 维闭超方形 n

n 维球同胚于 m 维球,当且仅当 n = m。n 维开球 B 与 Rn 间的同胚可分成两种类型,以 B 的两种可能之拓扑定向来区分。

一个 n 维拓扑球不一定是光滑的;若该球是光滑的,亦不一定需微分同胚于一 n 维欧几里得球。

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