有符号数处理

✍ dations ◷ 2025-09-19 07:20:58 #有符号数处理

在计算机运算中，有符号数的表示（英语：signed number representations）需要将负数编码为二进制形式。

在数学中，任意基数的负数都在最前面加上“−”符号来表示。然而在计算机硬件中，数字都以无符号的二进制形式表示，因此需要一种编码负号的方法。当前有四种方法，用于扩展二进制数字系统，来表示有符号数：原码（sign-and-magnitude）、反码（ones' complement）、补码（two's complement）以及移码（offset binary，excess-）。

符号及值（sign & magnitude）的处理办法是分配一个符号位（sign bit）来表示这个符号：设置这个位（通常为最高有效位）为表示一个正数，为表示一个负数。数字中的其它位指示数值（或者绝对值）。因此一个字节只有7位（除去符号位），数值的范围从0000000（0）到1111111（127）。这样当你增加一个符号位（第八位）后，可以表示从−127₁₀到+127₁₀的数字。这种表示法导致的结果就是可以有两种方式表示零，00000000（0）与10000000（−0），这大大增加数字电路的复杂性和设计难度。CPU亦须执行两次比较，来测试运算结果是否为零。

十进制数−43用原码方法编码成八位的结果为10101011。

这种方法被直接比较于常用的符号表示法（放置一个“+”或者“−”在数字的数值之前）。一些早期的二进制电脑（例如IBM 7090）使用这种表示法，也许是由于它与通用用途的自然联系。原码是最常用的表示浮点数的方法。IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754）采用最高有效位作为符号位，因此可表示正负零及正负无限。

另一方面，一种叫做反码（ones' complement）的系统也可以用于表示负数（注：正数与原码形式一样，无需取反）。一个负数的二进制数反码形式为其绝对值部分按位取反（即符号位不变，其余各位按位取反）。同原码表示一样，0的反码表示形式也有两种：00000000（+0）与11111111（−0）。

举例来说，原码10101011（-43）的反码形式为11010100（−43）。有符号数用反码表示的范围为−(2N−1−1)到(2N−1−1)，以及+/−0。一个惯常的八位的字节便是（可表示）−127₁₀到+127₁₀，以及00000000（+0）或者11111111（−0）。

对两个反码表示形式的数字做加法，首先需要进行常规的二进制加法，但还需要在和的基础上加上进位。为什么必须这样呢？来看下面这个−1加上+2的例子。

       二进制    十进制    11111110     -1 +  00000010     +2............    ...  1 00000000      0   <-- 错误答案           1     +1   <-- 加上进位............    ...    00000001      1   <-- 正确答案

在上面的例子中，二进制加法仅仅得到了00000000，这是一个错误的答案。只有当加上进位时才能得到正确答案（00000001）。

反码这种数字表示系统通常出现在老式的计算机中；PDP-1，CDC 160A，UNIVAC 1100/2200系列以及其它的一些电脑都使用反码算术。

关于正字法（orthography）的评述：这个系统之所以被称作反码（ones' complement）是因为一个正值的反（表示为按位非）也可以通过0的反码（ones' complement）表示形式（一长串的1，−0）减去得到。

Internet协议IPv4，ICMP，UDP以及TCP都使用同样的16位反码检验和算法。虽然大多数计算机缺少“循环进位”硬件，但是这种额外的复杂性是可以接受的，因为“对于所有位（bit）位置上的错误都是同样敏感的”。在UDP中，全0表示省略了可选的检验和特性。另外一种表示：FFFF，指示了0的检验和。（在IPv4中，TCP和ICMP都强制性地规定了检验和，而在IPv6中可以省略）。

注意负数的反码只需按位求数值的补码就可以得到，符号不需要变动。

补码（two's complement）回避了0有多种表示的问题以及循环进位的需要。在补码表示中，负数以位模式表示为正值的反码加1（当作无符号数）。

在补码表示中，只有一个0（00000000）。求一个数的补码（无论是负数还是正数）需要反转所有位，然后加1。一对补码整数相加等价于一对无符号数相加（除了溢出检测，如果能够做到的话）。比如，从旁边的表格可以看出，127与−128的补码表示相加就与无符号数127及128相加具有相同的结果。

从一个正数得到其对应负数的补码的简单方法表示如下：

移码（offset binary），是将二进制原码无符号整数所代表的值，减去一个预设值。

标准移码，预设值为二进制原码表示的最大整数的一半。一个数的标准移码和补码，最高位相反，其余各位均相同。

下表列出了 4-bit 二进数所能表示的整数：

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