形式幂级数

形式幂级数(formal power series)是一个数学中的抽象概念，是从幂级数中抽离出来的代数对象。形式幂级数和从多项式中剥离出来的多项式环类似，不过允许（可数）无穷多项因子相加，但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用。

形式幂级数和多项式的形式定义有类似之处。对于熟悉幂级数的读者，也可以将其看作是不讨论幂级数敛散性，也就是将其中的不定元仅仅看作是一个代数对象，而不是任何具体数值的时候写出的幂级数。举例来说，以下的级数式子：

如果我们把它当成幂级数来研究的话，重点会放在它的收敛半径等于1、其对应的幂级数函数是否满足某些性质等等。但作为形式幂级数来研究时，我们关注的是它本身的结构。我们甚至可以把它简写为：${\displaystyle }$这样，只关注它的系数。我们完全可以考虑各种系数的形式幂级数。比如说系数为阶乘的形式幂级数：${\displaystyle }$，即使说它对应的幂级数：

在${\displaystyle X}$取任何的非零实数值时都不收敛，我们仍然可以将其作为形式幂级数进行运算。

和多项式环中的元素一样，形式幂级数之间也可以做加减和乘法的运算，具体的计算方式和多项式环一样。比如说设：

那么${\displaystyle A}$与${\displaystyle B}$的和就是：

其中${\displaystyle A+B}$里面${\displaystyle X^3}$的系数就是${\displaystyle A}$与${\displaystyle B}$中${\displaystyle X^3}$的系数的和；${\displaystyle AB}$里面${\displaystyle X^5}$的系数就是${\displaystyle A}$与${\displaystyle B}$中${\displaystyle X}$的阶数相加等于5的项的系数乘积的和：

对每个确定的阶数${\displaystyle n}$，这个计算是有限项（至多${\displaystyle n+1}$项）的相加，所以在计算形式幂级数的加减法和乘法的时候，不需要像在对幂级数进行计算时一样，考虑诸如是否绝对收敛、条件收敛或是一致收敛的问题。另外，如多项式的形式运算一样，形式幂级数也满足加法的交换律、加法的结合律、乘法的交换律、乘法的结合律以及乘法对加法的分配律。

形式幂级数不仅能够定义乘法，也能定义乘法逆的运算。一个形式幂级数${\displaystyle A}$的逆是指另一个形式幂级数${\displaystyle C}$，使得${\displaystyle AC=1}$. 如果这样的形式幂级数${\displaystyle C}$存在，就是唯一的，将其记为${\displaystyle A^{-<!--\; -\; -->1}}$。同时我们也可以定义形式幂级数的除法：当${\displaystyle A}$的逆存在时，${\displaystyle B/A=B\cdot <!--\; \cdot \; -->A^{-<!--\; -\; -->1}.}$ 比如说，可以很容易验证：

形式幂级数上的一个重要映射是系数的提取操作：将一个形式幂级数映射到它的${\displaystyle X^n}$的系数。这个操作常常记作${\displaystyle }$，比如说对形式幂级数${\displaystyle A=1-<!--\; -\; -->3X+5X^2-<!--\; -\; -->7X^3+9X^4-<!--\; -\; -->11X^5+\cdots <!--\; \cdots \; -->.}$，就有：

对以上定义的形式幂级数${\displaystyle B}$，也有：${\displaystyle B=4}$。又比如：${\displaystyle (X+3X^2{Y}^3+10Y^6)=3Y^3}$，${\displaystyle (X+3X^2{Y}^3+10Y^6)=3}$。提取映射和多项式环中的对应映射一样，都可以看做是到一个子空间的投影映射。

所有的不定元为${\displaystyle X}$，系数为某一个交换环${\displaystyle R}$上元素的形式幂级数构成一个环，称为${\displaystyle R}$上变量为${\displaystyle X}$的形式幂级数环，记作${\displaystyle R]}$。

${\displaystyle R]}$可以定义为${\displaystyle R}$上变量为${\displaystyle X}$的多项式环完备化（对于特定的度量）后得到的。这个定义自然就赋予了${\displaystyle R]}$以拓扑环的结构（同时也赋予了完备度量空间的结构）。不过空间完备化所需要的步骤过于繁琐，而建构${\displaystyle R]}$所需要的并没有那么多。以下将对${\displaystyle R]}$的环结构和拓扑结构分别定义，更为明晰，容易理解。

首先可以定义集合${\displaystyle R]}$的范围。作为一个集合，${\displaystyle R]}$可以用和${\displaystyle R^{\mathbb{N}}}$一样的方法构造。${\displaystyle R^{\mathbb{N}}}$是所有${\displaystyle R}$上元素构成的数列${\displaystyle (a_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$的集合：

${\displaystyle R^{\mathbb{N}}}$中的元素可以定义加法和乘法：

其中乘法的定义方法也叫做求两个数列的系数的柯西乘积，也是一种卷积。可以证明，在以上的定义下，${\displaystyle R^{\mathbb{N}}}$是一个交换环。环的加法零元是${\displaystyle (0,0,0,...)}$，乘法幺元是${\displaystyle (1,0,0,...)}$。于是我们可以将${\displaystyle R}$中的元素嵌入到${\displaystyle R^{\mathbb{N}}}$之中，

并将${\displaystyle (0,1,0,0,...)}$映射到不定元${\displaystyle X}$，这样通过以上定义的加法和乘法就可以将${\displaystyle R^{\mathbb{N}}}$中的有限非零元元素同构为：

这样的结构和多项式环是一样的。所以对于更一般的${\displaystyle R^{\mathbb{N}}}$中元素${\displaystyle (a_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$，就可以自然地希望将其对应到${\displaystyle \underset{i\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_i{X}^i}$：

但这个对应方式并不能通过有限项的加法和乘法得到，所以需要用一个约定上的映射${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:R^{\mathbb{N}}\to <!--\; \to \; -->R]}$来做到：

这个映射涵盖了之前的多项式的定义，并且可以定义

以及

这个定义使得${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$是一个同态，所以${\displaystyle R]}$也是一个交换环。

以上的定义中建立了映射

但需要注意的是这里的定义中${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{X}^i}$还是一个符号性的对象，因为我们并没有定义其中无限求和号的意义。为了更好地定义${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{X}^i}$本身，我们需要引入拓扑的结构，将其作为极限来严格地说明。需要注意的是，适合的拓扑结构不止一个。

其中${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(s)}$表示数列${\displaystyle s=(s_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$中第一个不等于0的系数的下标。这样的定义之下，我们说两个数列如果越来越“接近”，那么第一个系数不同的地方会出现的越晚，也就是说它们的距离也越小。对一个数列${\displaystyle a=(a_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$，定义部分和数列为：

那么部分和${\displaystyle s_k}$和${\displaystyle a}$的距离就会是${\displaystyle 2^{-<!--\; -\; -->(k+1)}}$，所以${\displaystyle k}$趋于无穷大的时候，部分和数列和${\displaystyle a}$的距离趋于0. 这样，在定义了有限项非零元的数列和多项式的关系以后，就可以将任意的数列定义为部分和数列的极限。

然后对形式幂级数也定义类似的距离：

然后形式幂级数也就满足：

并且可以验证加法、乘法的交换律和结合律，以及乘法对加法的结合律。于是我们定义出了一个同构于${\displaystyle R^{\mathbb{N}}}$的拓扑环，将其称为${\displaystyle R}$上的形式幂级数环${\displaystyle R]}$。