σ-代数

在数学中，某个集合 X 上的 σ-代数又叫 σ-域，是 X 的幂集的子集合（X 的幂集即包含所有 X 的子集的集合系）。这个子集满足对于补集运算和可数个并集运算的封闭性（因此对于可数个交集运算也是封闭的）。σ-代数在测度论里可以用来定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。

σ-代数的概念大约起始于二十世纪的前三十年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中，σ-代数不仅仅是用于建立公理体系，也是一个强有力的工具，在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候，都需要用到。

让 ${\displaystyle X}$ 为非空集合，集合系 ${\displaystyle \mathcal{F}}$ 中的元素是 ${\displaystyle X}$ 的子集合，满足以下条件的集合系 ${\displaystyle \mathcal{F}}$ 称为 ${\displaystyle X}$ 上的一个 σ-代数：

以上条件用数学语言来表示，就是：

${\displaystyle X}$ 为一集合，假设有集合系 ${\displaystyle \mathcal{F}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathcal{P}(X)}$，其中 ${\displaystyle \mathcal{P}(X)}$ 代表 ${\displaystyle X}$ 的幂集，若 ${\displaystyle \mathcal{F}}$ 满足下列条件

则称集合系 ${\displaystyle \mathcal{F}}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的 σ-代数。

在测度论里 ${\displaystyle \left(X,\mathcal{F}\right)}$称为一个可测空间。集合族 ${\displaystyle \mathcal{F}}$ 中的元素，也就是 ${\displaystyle X}$ 的某子集，称为可测集合。而在概率论中，这些集合被称为随机事件。

σ-代数是一个代数（域）也是一个λ系，它对集合的交集、并集、差集、可数交集、可数并集运算都是封闭的。