概率流

在量子力学里，概率流，又称为概率通量，是描述概率密度流动的物理量。假若将概率密度想像为非均匀流体。那么，概率流就是这流体的流率（概率密度乘以速度）。

在量子力学里，从概率守恒可以得到“概率连续性方程”。设定一个量子系统的波函数为 ${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x,t)}$ 。定义概率流 ${\displaystyle \mathbf{J}}$ 为

其中，${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$ 是约化普朗克常数，${\displaystyle m}$ 是质量，${\displaystyle {\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$ 是 ${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}$ 是共轭复数，${\displaystyle \text{Im}()}$ 是取括弧内项目的虚部。

概率流满足量子力学的连续方程：

其中，${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}{|}^2}$ 是概率密度。

应用高斯公式，等价地以积分方程表示，

其中，${\displaystyle \mathbb{V}}$ 是任意三维区域，${\displaystyle \mathbb{S}}$ 是 ${\displaystyle \mathbb{V}}$ 的边界曲面。

这就是量子力学概率守恒定律的方程。

方程 (1) 左边第一个体积积分项目（不包括对于时间的偏微分），即是测量粒子位置时，粒子在 ${\displaystyle \mathbb{V}}$ 内的概率。第二个曲面积分是概率流出 ${\displaystyle \mathbb{V}}$ 的通量。总之，方程 (1) 表明，粒子在三维区域 ${\displaystyle \mathbb{V}}$ 内的概率对于时间的微分，加上概率流出三维区域 ${\displaystyle \mathbb{V}}$ 的通量，两者的总和等于零。

测量粒子在三维区域 ${\displaystyle \mathbb{V}}$ 内的概率 ${\displaystyle P}$ 是

概率对于时间的导数是

假设 ${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}$ 的含时薛定谔方程为

其中，${\displaystyle U(\mathbf{r})}$ 是位势。

将含时薛定谔方程代入方程 (2) ，可以得到

应用一则向量恒等式，可以得到

这方程右手边第一个项目与第三个项目互相抵销，将抵销后的方程代入，

将概率密度方程与概率流定义式代入，

这相等式对于任意三维区域 ${\displaystyle \mathbb{V}}$ 都成立，所以，被积项目在任何位置都必须等于零：

设定一个粒子的波函数 ${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}$ 为三维空间的平面波，

其中，${\displaystyle A}$ 是振幅常数，${\displaystyle \mathbf{k}}$ 是波数，${\displaystyle \mathbf{r}}$ 是位置，${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$ 是角频率，${\displaystyle t}$ 是时间。

${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}$ 的概率流是

这只是振幅的平方乘以粒子的速度 ${\displaystyle \mathbf{v}=\frac{\mathbf{p}}{m}=\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathbf{k}}{m}}$ 。

请注意，虽然这平面波是定态，在每一个的地点，${\displaystyle \frac{d|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}{|}^2}{dt}=0}$ ，但是概率流仍旧不等于 ${\displaystyle 0}$ 。因此可以推论，虽然概率密度不显性地跟时间有关，粒子仍可能移动于空间中。

思考一维盒中粒子问题，能级为 ${\displaystyle E_n}$ 的本征波函数 ${\displaystyle {\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n}$ 是

其中，${\displaystyle L}$ 是一维盒子的宽度，两扇盒壁的位置分别在 ${\displaystyle x=0}$ 与 ${\displaystyle x=L}$ 。

由于 ${\displaystyle {\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n={\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$ ，其概率流为