完整群

在 微分几何中，一个微分流形上的联络的完整（holonomy） （又译和乐），描述向量绕闭圈平行移动一周回到起点后，与原先相异的现象。平联络的和乐是一种单值性（英语：monodromy）现象，其于全域有定义。曲联络的和乐则有非平凡的局域和全域特点。

流形上任意一种联络，都可由其平行移动映射给出相应的和乐。常见的和乐由具有特定对称的联络给出，例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和乐（称为黎曼和乐）。向量丛联络的和乐、嘉当联络的和乐，以及主丛联络的和乐。在该些例子中，联络的和乐可用一个李群描述，称为和乐群。联络的和乐与其曲率密切相关，见安布罗斯-辛格定理。

对黎曼和乐的研究导致了若干重要的发现。其最早由Élie Cartan （1926）引入，以用于对称空间（英语：symmetric space）的分类上。然而，很久以后，和乐群才用于更一般的黎曼几何上。1952年， 乔治·德拉姆证明了德拉姆分解定理：若黎曼流形的切丛可分解成局域和乐群作用下不变的子空间，则该流形分解为黎曼流形的笛卡儿积。稍后，于1953年，马塞尔·伯格（英语：Marcel Berger） 给出所有不可约和乐的分类。黎曼和乐的分解和分类适用于物理和弦论。

设 为光滑流形， 为其上的 维向量丛，∇ 为 上的联络。给定 上一点 和以 为基点的分段光滑环圈  : → , 该联络定义了一个平行移动映射  : → . 该映射是可逆线性映射，因此是一般线性群 GL() 的元素。∇ 以 为基点的和乐群定义为

以 为基点的限制和乐群是由可缩（英语：contractible）环圈 给出的子群${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_x^0<!--\; \; -->(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->})}$ 连通，则不同基点 的和乐群 仅相差 GL(, R) 的共轭作用。更具体说，若 为 中由 到 的路径，则

选取 的另一组基（即以另一种方式将 视为与 R 等同）同样会使和乐群变成 GL(, R) 中另一个共轭子群。非完全严格的讨论中（下同），可将基点略去，但倘如此行，则和乐群仅在共轭意义下有良好定义。

和乐群的重要性质包括：

在物理学中，威尔森循环是 tr()（特征标理论的迹）。

主丛联络的和乐与向量丛相仿。设 为李群， 为仿紧光滑流形 上的主 丛。设 为 上的联络。给定 中一点 , 以 为基点的分段光滑环圈  : → , 以及 纤维上一点 , 该联络定义了唯一的 ${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}:\to <!--\; \to \; -->P}$, 因为其可为 纤维上的另一点 ·. 若两点 和 之间有分段光滑的水平提升路径连接，则称 ~ . 如此，~ 是 上的等价关系。

以 为基点的和乐群定义为

若在定义中仅允许可缩（英语：contractible）环圈 的水平提升，则得到以 为基点的受限和乐群 ${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p^0<!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$ 和 皆连通，则不同基点 的和乐群仅在 互为共轭。更具体说，若 是另一个基点，则有唯一的 ∈ 使得 ~ ·. 于是，

特别地，

再者，若 ~ , 则 ${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p<!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})={\mathrm{Hol}}_q<!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}).}$ 为连通仿紧流形， 为其上的主 丛， 为 上的联络。设 ∈ 为主丛上的任意一点。以 () 表示 中可与 用水平曲线相连的点的集合。则可证明 () 连同其到 的投影也构成 上的主丛，且具有结构群 ${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p<!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$ () 是主 ${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p<!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$ 经过 的和乐丛。 限制到 () 上也是一个联络，因为其平行移动映射保持 () 不变。故 () 是该联络的约化主丛。此外， () 任何真子丛都不被平行移动保持，所以其在该类约化主丛之中为最小。

与和乐群类似，和乐丛在环绕它的主丛 中等变。具体说，若 ∈ 是另一个基点，则有 ∈ 使得 ~ （按假设， 是路连通的）。故 () = () . 于是，两者在和乐丛上导出的联络是相容的，即：两个联络的平行移动映射恰好相差了群元素 .

和乐丛 () 是主 ${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p<!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$ () 上。离散群 ${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p<!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})/{\mathrm{Hol}}_p^0<!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$ → 为主丛，ω 为 的联络，则 ω 的和乐可限制到 的开集的纤维上。若 为 的连通开集，则将 ω 限制到 上可得丛 π−1 的联络。该丛的和乐群记为 ${\displaystyle {\mathrm{Hol}}_p<!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},U),}$ 为满足 π() ∈ 的点。

若 ⊂ 为包含 π() 的两个开集，则有包含关系

点的局域和乐群定义为

其中 为任意一族满足 ${\displaystyle \underset{k}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}{U}_k=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(p)}$), 意思是“形态”。

"Holonomy" 与 "holomorphic" 的前半 () 一样。至于后半：

“非常难在网络上找出 holonomic（或 holonomy) 的词源。我找到（鸣谢普林斯顿的约翰·康威）：

‘’”

参见 νόμος () 和 -nomy。