迭代函数

✍ dations ◷ 2025-04-04 23:45:46 #函数,不动点,分形,动力系统,序列

在数学中,迭代函数是在碎形和动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数,这个过程叫做迭代。

在集合 X {\displaystyle X} 中的有() = ,则被称为迭代序列的不动点。不动点的集合经常指示为Fix()。存在一些不动点定理保证在各种情况下不动点的存在性,包括巴拿赫不动点定理和Brouwer不动点定理。

有很多技术通过不动点迭代产生了序列收敛加速。例如,应用于一个迭代不动点的Aitken方法叫做Steffensen方法,生成二次收敛。不动点理论同样也适用于经济学领域。

通过迭代,可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合。在这种情况下,会聚到的这个点叫做吸引不动点。反过来说,迭代也可以表现得从一个单一点发散;这种情况叫不稳定不动点。

当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候,轨道的会聚点的集合叫做极限集合或 ω-极限集合。

吸引和排斥的想法类似推广;依据在迭代下小邻域行为,可把迭代分类为稳定集合和不稳定集合。

其他极限行为也有可能;比如,游荡点是总是移动永不回到甚至接近起点的点。

著名的迭代函数包括曼德博集合和迭代函数系统。

如果 是一个群元素在一个集合上的作用,则迭代函数对应于自由群。

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