估计理论

✍ dations ◷ 2025-07-09 15:16:10 #估计理论,信号处理,统计学

估计理论是统计学和信号处理中的一个分支,主要是通过测量或经验数据来估计概率分布参数的数值。这些参数描述了实质情况或实际对象,它们能够回答估计函数提出的问题。

例如,估计投票人总体中,给特定候选人投票的人的比例。这个比例是一个不可观测的参数,因为投票人总体很大;估计值建立在投票者的一个小的随机采样上。

又如,雷达的目的是物体(飞机、船等)的定位。这种定位是通过分析收到的回声(回波)来实现的,定位提出的问题是“飞机在哪里?”为了回答这个问题,必须估计飞机到雷达之间的距离。如果雷达的绝对位置是已知的,那么飞机的绝对位置也是可以确定的。

在估计理论中,通常假定信息隐藏在包含噪声的信号中。噪声增加了不确定性,如果没有不确定性,那么也就没有必要估计了。

有非常多的领域使用参数估计理论。这些领域包括(当然不局限于以下列出的领域):

测量参数包含噪声或者其他不确定性。通过统计概率,可以求得最优化的解,用来从数据中提取尽可能多的信息。

估计理论的全部目的都是获取一个估计函数,最好是一个可以实现的估计函数。估计函数输入测量数据,输出相应参数的估计。

我们通常希望估计函数能最优,一个最优的估计意味着所有的信息都被提取出来了;如果还有信息没有提取出来,那就意味着它不是最优的。

一般来说,求估计函数需要三步:

当实现一个估计器之后,实际的数据有可能证明推导出估计器的模型是不正确的,这样的话就需要重复上面的过程重新寻找估计器。不能实现的估计器需要抛弃,然后开始一个新的过程。总的来说,估计器根据实际测量的数据预测物理模型的参数。

为了建立一个模型,需要知道几项统计“因素”。为了保证预测在数学上是可以追踪的而不是仅仅基于“内心感受”来说这是必需的。

第一个是从大小为 N {\displaystyle N} 方差为 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} Cramér-Rao下限。

采样平均除了是最大似然估计器之外还是最小变化无偏估计器(MVUE)。

这个直流增益 + WGN的例子是Kay的中一个例子的再现。

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