柯西定理 (群论)

✍ dations ◷ 2025-10-22 14:57:08 #数学定理,有限群

柯西定理是一个在群论里的定理，以奥古斯丁·路易·柯西的名字来命名。其叙述著若是一个有限群且是一个可整除之阶（的元素数目）的质数，则会有一个阶的元素。亦即，存在一个于内的，使得为让=的最小非零整数，其中为单位元素。

此一定理为拉格朗日定理的部分相反，其叙述著有限群的每一个子群之阶都会整除的阶。柯西定理表示对于每一个之阶的质因数，总存在一个内阶之子群－由柯西定理内之元素产生的循环群。

我们对 = ||使用数学归纳法。考虑是阿贝尔群，以及不是阿贝尔群的两个情况。假设是阿贝尔群。如果是单群，那么它一定是素数阶循环群，因此显然含有阶的元素。否则存在一个非平凡的正规子群 $H\triangleleft G$ 能整除||，那么根据归纳假设，含有一个阶的元素，因此也含有阶的元素。否则，根据拉格朗日定理，一定能整除指数，因此根据归纳假设，商群/含有一个阶的元素；也就是说，在中存在一个，使得() = = 。那么在中存在一个元素，使得 = 1——的单位元。容易验证，对于中的每一个元素，都存在中的一个元素，使得 = ，因此在中存在，使得 = 。所以的阶为，阿贝尔群的情况得证。

假设不是阿贝尔群，那么它的中心是真子群。如果对于某个非中心元素（也就是说，不在内），能整除中心化子()的阶，那么()就是一个真子群，因此根据归纳假设，它含有一个阶的元素。否则，根据拉格朗日定理，一定能整除指数，对于所有的非中心。利用类方程，可知能整除方程的左端（||），因此也能整除右端的所有被加数，除了可能不整除||以外。然而，经过一番计算就可发现，必须也能整除的阶，因此根据归纳假设，中心子群含有一个阶的元素，因为它是真子群，所以它的阶严格小于的阶。证毕。

相关

建筑声学建筑声学主要研究以下几个方面：
木偶玩偶一词泛指模仿人或动物造型的赏玩物品，其中形若人类的称为人偶。人偶、玩偶的外型面貌，从抽象到拟真，涵盖不同种族、年龄、性别的外型，因各国、各民族的需求与文化背景而发展
斐迪南·冯·齐柏林斐迪南·冯·齐柏林伯爵（德语：Ferdinand Graf von Zeppelin，1838年7月8日－1917年3月8日）。德国贵族、工程师和飞行员。出生于巴登大公国的康斯坦茨（现属于德国巴登-符腾堡州）他是人
财经《财经》是中国的一份以介绍财经新闻为主的杂志，由胡舒立创刊于1998年。现隶属财讯传媒集团，总编辑为王波明。《财经》创刊以来曾多次刊发对市场有重大影响的报道。2000年，《财
赖买丹月赖买丹月（阿拉伯语：رمضان‎，音读：Ramaḍān，意为“禁月”），直译“拉玛丹”和“赖买丹”，或者半意译作“来麦丹”，是伊斯兰历（回历）的第九个月，也是伊斯兰教穆斯林的斋戒月。根据《
人见铁三郎人见铁三郎（1918年－2008年），日本栃木县人。日本外交官。1941年，毕业于东京帝国大学法学部政治学科毕业，进日本外务省，任驻瑞土大使馆一等秘书、法务省入境管理局入境审查课课长。19
金属杂环化合物金属杂环化合物（英语：Metallacycle或Metallacyclic compound）是一类有机金属化合物，是金属原子取代了碳环状化合物中至少一个碳形成的化合物。金属杂环化合物通常以活性中间体的
基里尔·康德拉辛基里尔·彼得罗维奇·康德拉辛（俄语：Кирилл Петрович Кондрашин，1914年3月6日－1981年3月8日）是一位俄国指挥家。俄历1914年2月21日，康德拉辛生于莫斯科的
段霸段霸（380年－440年），雁门原平（今山西代县）人，北魏时的宦官。段霸的父亲段干是后燕慕容垂的官员，因此后燕被灭后，年幼的段霸被俘并处以宫刑。段霸聪颖过人，因此曾任中常侍、中护军将军及
松荫女子短期大学松荫女子短期大学（日语：松蔭女子短期大学／しょういんじょしたんきだいがく *），简称松荫短大，松短，是过去一所位于日本神奈川县厚木市的私立短期大学。