柯西定理是一个在群论里的定理，以奥古斯丁·路易·柯西的名字来命名。其叙述著若是一个有限群且是一个可整除之阶（的元素数目）的质数，则会有一个阶的元素。亦即，存在一个于内的，使得为让=的最小非零整数，其中为单位元素。
此一定理为拉格朗日定理的部分相反，其叙述著有限群的每一个子群之阶都会整除的阶。柯西定理表示对于每一个之阶的质因数，总存在一个内阶之子群－由柯西定理内之元素产生的循环群。
我们对 = ||使用数学归纳法。考虑是阿贝尔群，以及不是阿贝尔群的两个情况。假设是阿贝尔群。如果是单群，那么它一定是素数阶循环群，因此显然含有阶的元素。否则存在一个非平凡的正规子群能整除||，那么根据归纳假设，含有一个阶的元素，因此也含有阶的元素。否则，根据拉格朗日定理，一定能整除指数，因此根据归纳假设，商群/含有一个阶的元素；也就是说，在中存在一个，使得() = = 。那么在中存在一个元素，使得 = 1——的单位元。容易验证，对于中的每一个元素，都存在中的一个元素，使得 = ，因此在中存在，使得 = 。所以的阶为，阿贝尔群的情况得证。
假设不是阿贝尔群，那么它的中心是真子群。如果对于某个非中心元素（也就是说，不在内），能整除中心化子()的阶，那么()就是一个真子群，因此根据归纳假设，它含有一个阶的元素。否则，根据拉格朗日定理，一定能整除指数，对于所有的非中心。利用类方程，可知能整除方程的左端（||），因此也能整除右端的所有被加数，除了可能不整除||以外。然而，经过一番计算就可发现，必须也能整除的阶，因此根据归纳假设，中心子群含有一个阶的元素，因为它是真子群，所以它的阶严格小于的阶。证毕。
