星形多边形

✍ dations ◷ 2025-09-09 09:29:53 #几何术语,多边形

在几何学中,星形多边形是一种外观有数个向外凸起的非凸多边形。目前几何学上尚未有一个广泛被接受的星形多边形定义,目前较常见的定义为存在顶点不和相邻顶点连接的多边形,或者从一般多边形透过截角或延长边并使其相交所形成的形状。目前有被从多个角度进行研究的星形多边形只有星形正多边形。数学家布兰科·格伦鲍姆(英语:Branko Grünbaum)指出了两种由开普勒提出的定义:一种是具有自相交棱的星形正多边形,且自相交的棱不产生新的顶点,另一种是等边的简单凹多边形。

星形多边形一般有许多向外突出的角,一般依照其向外突出之角的数量命名,如五角星,部分文献将之称为一个芒,整体形状以芒数命名,如五芒星与六芒星。

若一星形多边形是一个简单多边形或边不相交的多边形,则该星形多边形不可能为星形正多边形,因为若将星形正多边形的相交边移除,则其不再正多边形,但可以形成等边多边形。这类等边多边形通常由2个落在半径不同的圆上之顶点交错连接构成。数学家布兰科·格伦鲍姆(英语:Branko Grünbaum)在其著作《Tilings and Patterns》中将这类多边形以符号 | x | {\displaystyle |x|} 表示由星形多边形 { x } {\displaystyle \{x\}} 移除相交线段后构成的星形多边形,例如星形多边形 { n d } {\displaystyle \{{\frac {n}{d}}\}} 移除位于内部的线段后的结果计为 | n d | {\displaystyle |{\frac {n}{d}}|} { n α } {\displaystyle \{n\alpha \}} 表达一个内角 α < 180 ( 1 2 n ) {\displaystyle \alpha <180(1-{\frac {2}{n}})} 度的n角星。

星形正多边形包括五角星和八角星等等,n角星的施莱夫利符号为{n/m},其中m是小于n/2且和n互质的正整数。托马斯·布拉德华是最早系统性地对星形正多边形的研究的学者,后来约翰内斯·开普勒也做了类似的研究。

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