鞅中心极限定理

鞅中心极限定理是概率论中的一个定理，对有界的随机变量而言，常见的经典中心极限定理是它的特殊情形。经典中心极限定理说，在一定条件下，独立同分布（i.i.d.）的随机变量之和，乘以适当的标准化因数后，会依分布收敛于标准正态分布 。而鞅中心极限定理将独立性假设放宽为：这些随机变量只需构成一个鞅中的随机增量（鞅是一种随机过程 ，其从时间 ${\displaystyle t}$ 到时间 ${\displaystyle t+1}$ 的增量，在给定时间 1 到 ${\displaystyle t}$ 观测值的条件下，其条件数学期望为零）。

鞅中心极限定理的基本内容可陈述如下：令随机变量 ${\displaystyle X_1,X_2,\dots <!--\; \dots \; -->}$ 构成一个鞅，即满足条件：

进一步假设这个鞅是有限增量的，即：存在一个固定常数 ${\displaystyle k>0}$ ，有：

对所有 ${\displaystyle t}$ 成立。 另假设${\displaystyle |X_1|\le <!--\; \le \; -->k}$ 也成立。 定义增量的条件方差为：

并假设所有条件方差之和发散，即下式以概率1成立：

据此，对任意给定的常数 ${\displaystyle \mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}>0}$ ，可以定义：

在所有上述假设成立的条件下，鞅中心极限定理做出如下结论：标准化的鞅随机变量：

随着 ${\displaystyle \mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$ 将会依分布收敛于标准正态分布。

上述定理假设了所有随机增量的条件方差之和为无穷大，即以下条件以概率1成立：

这样可以确保以概率1，下式成立：

并不是所有鞅都满足这个条件，例如恒为零的平凡鞅。

可以通过将 ${\displaystyle \frac{X_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}}{\sqrt{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}}$ 如下变形来更好地理解鞅中心极限定理：

右边的第一项渐近收敛于零，可以忽略。第二项在形式上，与独立同分布随机增量的经典中心极限定理相似，虽然其中被求和项 ${\displaystyle X_{i+1}-<!--\; -\; -->X_i}$ 互相之间未必独立，但由鞅的定义易知它们互不相关的，因为：