首页 >
椭球
✍ dations ◷ 2025-08-05 20:17:30 #椭球
椭球是一种二次曲面,是椭圆在三维空间的推广。椭球在xyz-笛卡儿坐标系中的方程是:其中a和b是赤道半径(沿着x和y轴),c是极半径(沿着z轴)。这三个数都是固定的正实数,决定了椭球的形状。如果三个半径都是相等的,那么就是一个球;如果有两个半径是相等的,则是一个类球面。点(a,0,0)、(0,b,0)和(0,0,c)都在曲面上。从原点到这三个点的线段,称为椭球的半主轴。它们与椭圆的半长轴和半短轴相对应。使用球坐标系,其中
+
θ
′
{displaystyle {color {white}+}!!!theta {color {white}'},!}
是天顶角,
+
φ
−
{displaystyle {color {white}+}!!!varphi {color {white}!!!-},!}
是方位角,则椭球可以表示为以下的参数形式:使用地理坐标系,其中
β
{displaystyle beta ,!}
是一点的参数纬度,
+
λ
′
{displaystyle {color {white}+}!!!lambda {color {white}'},!}
是该点的经度:椭球的体积由以下公式给出:注意,当三个半径都相等时,这个公式便化为球的体积;两个半径相等时,便化为扁球面或长球面的体积。椭球的表面积由以下公式给出:其中与球的表面积不同,椭球的表面积一般不能用初等函数来表示。一个近似公式为:其中
p
≈
1.6075
{displaystyle papprox 1.6075,}
。这样相对误差最多为
1.061
{displaystyle 1.061,}
%(Knud Thomsen公式);
p
=
8
5
=
1.6
{displaystyle p={frac {8}{5}}=1.6,}
的值对于接近于球的椭球较为适宜,其相对误差最多为
1.178
{displaystyle 1.178,}
%(David W. Cantrell公式)。对于
a
=
b
{displaystyle a=b,}
的情况,有一个精确的公式:c
{displaystyle c,}
比
a
{displaystyle a,}
和
b
{displaystyle b,}
都小很多时,表面积近似等于
2
π
a
b
.
{displaystyle 2pi ab.,!}
。椭球与平面相交的横截面为椭圆。如右图所示,椭圆的两个直径
d
2
{displaystyle {d_{2}}}
与
d
1
{displaystyle {d_{1}}}
可表示为d
1
,
2
2
=
8
(
1
−
z
c
2
∑
i
=
1
3
r
i
2
sin
2
p
i
)
∑
i
=
1
3
cos
2
p
i
r
i
2
±
(
∑
i
=
1
3
cos
2
p
i
r
i
2
)
2
−
4
(
∑
i
=
1
3
r
i
2
sin
2
p
i
)
/
r
1
2
r
2
2
r
3
2
{displaystyle {d_{1,2}^{2}}={{8(1-{z_{c}^{2} over {sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}sin ^{2}p_{i}}})} over {sum _{i=1}^{3}{cos ^{2}p_{i} over {r_{i}^{2}}}}pm {sqrt {(sum _{i=1}^{3}{cos ^{2}p_{i} over {r_{i}^{2}}})^{2}-4(sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}sin ^{2}p_{i})/r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}^{2}}}}}如果我们对球使用可逆的线性变换,便可以得到一个椭球;它可以用旋转的方法来化成以上标准的形式,这是谱定理的结果。如果该线性变换用一个对称的3乘3矩阵来表示的话,那么这个矩阵的特征向量就是正交的(根据谱定理),它表示了轴的方向:而半轴的长度则由特征值给出。椭球与平面的交集是空集、一个点,或一个椭圆。我们也可以利用经过线性变换的球来定义多维空间的椭球,并使用谱定理来得出一个标准方程。均匀密度的椭球的质量为:其中
ρ
{displaystyle rho ,!}
是密度。均匀密度的椭球的转动惯量为:其中
I
x
x
{displaystyle I_{mathrm {xx} },!}
、
I
y
y
{displaystyle I_{mathrm {yy} },!}
和
I
z
z
{displaystyle I_{mathrm {zz} },!}
分别是关于x、y和z轴的转动惯量。惯性积为零。容易知道,如果a=b=c,那么上述公式便化为均匀密度的球的转动惯量。反过来,如果知道了一个任意刚体的质量和主惯性矩,那么就可以构造出一个等价的均匀密度的椭球,使用以下特征:鸡蛋的形状可以近似地认为是半个长球面与半个球在赤道处相拼合而成,共用一个旋转对称的主轴。虽然鸡蛋形通常意味着在赤道平面没有反射对称,它也可以用来指真正的长球面。它也可以用来描述相应的二维图形。参见鹅蛋形。
相关
- 头孢洛扎头孢洛扎(Ceftolozane) ,是第五代头孢类抗生素,用来治疗对常规抗生素耐药的革兰氏阴性菌。 实验证明其对尿路感染、腹腔内感染、呼吸机相关性细菌性肺炎有效。头孢洛扎常与他唑
- 阿巴拉契亚山脉阿巴拉契亚山脉(英语:Appalachian Mountains),又译阿帕拉契山脉,是北美洲东部的一座山系。南起美国的阿拉巴马州,北至加拿大的纽芬兰和拉布拉多省。最北部余脉则延伸到魁北克的加
- 发射说人类对光学(optics)的研究开始于古代。最晚于公元前700年,古埃及人与美索不达米亚人便开始磨制与使用透镜;之后前6~5世纪时古希腊哲学家与古印度哲学家提出了很多关于视觉与光线
- 授粉授粉(传粉)指的是裸子植物和显花植物的雄性配子,即花粉,从花药被传到雌蕊的柱头,使雌性配子受精的过程。超过80%的有花植物靠生物 (例如蜜蜂、蝴蝶、果蝠)传播花粉,其余则靠风 (例如
- 威廉四世威廉四世(William IV,1765年8月21日-1837年6月20日),自1830年6月26日起担任大不列颠及爱尔兰联合王国国王和汉诺威国王,至死为止。威廉四世是乔治三世的第三个儿子,也是乔治四世的
- 多原色显示技术多原色显示技术 (Multi-primary color,MPC) 是一种相比传统显示器,可显示更广域的颜色的显示器。 除了标准的三原色光模式 (红色,绿色和蓝色),该技术利用了其他颜色,例如黄色,洋红
- 大智度论《大智度论》(梵语:Mahāprajñāpāramitāśāstra;英语:The Treatise on the Great Perfection of Wisdom),简称《智度论》、《智论》、《大论》,亦称《摩诃般若释论》、《大智
- 维持和平联合国维持和平部队(英语:United Nations Peacekeeping Force)简称联合国维和部队,指由大会或联合国安全理事会至少需九票赞成(必须包括五个常任理事国)核准部署并决定其任务授权
- RCHNaCN腈钠是指腈类化合物和钠离子形成的盐,这类盐被认为是反应中存在的中间体。腈钠可由腈和氨基钠、取代氨基钠或金属钠反应得到。但由于腈钠的高度不稳定性,其固体的分离特别困难
- 第二次武装中立联盟第二次武装中立联盟(Second League of Armed Neutrality)或称北方联盟(League of the North)是由北欧弱小海军力量,包括丹麦、普鲁士、瑞典和俄国,所组成的联盟。是次中立联盟在第