二项式定理

二项式定理（英语：Binomial theorem）描述了二项式的幂的代数展开。根据该定理，可以将两个数之和的整数次幂诸如${\displaystyle (x+y{)}^n}$被称为二项式系数，记作${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{b})}$个括号选出其中的${\displaystyle k}$或出，而最后要有4个、3个相乘，这形同${\displaystyle aaaabbb}$或出，而最后要有个、${\displaystyle (n-<!--\; -\; -->k)}$相乘，这形同${\displaystyle aa\dots <!--\; \dots \; -->aabb\dots <!--\; \dots \; -->bb}$项之总和为

因为 → ∞，右边的表达式趋近1。因此

这表明e可以表示为

该定理可以推广到对任意实数次幂的展开，即所谓的牛顿广义二项式定理：

${\displaystyle (x+y{)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{k})x^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->k}{y}^k}$。其中${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{k})=\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1)...(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->k+1)}{k!}=\frac{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{)}_k}{k!}}$。

对于多元形式的多项式展开，可以看做二项式定理的推广：
${\displaystyle {\left(x_1+x_2+...+x_n\right)}^k=\underset{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2+...+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n=k}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{k!}{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1!...{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n!}{x}_1^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}...x_n^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}}$.

证明：

数学归纳法。对元数n做归纳：
当${\displaystyle n=2}$时，原式为二项式定理，成立。
假设对${\displaystyle n-<!--\; -\; -->1}$元成立，则：